На подъезде стоит механический кодовый замок с десятью кнопками. Чтобы открыть замок, нужно нажать четыре определённые кнопки одновременно. Сколько существует различных комбинаций?

Решение:

Задача сводится к нахождению числа сочетаний из 10 элементов по 4, так как порядок нажатия кнопок не имеет значения, и кнопки не повторяются.

Формула для числа сочетаний из \( n \) по \( k \) выглядит так:

\[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \]

В нашем случае \( n = 10 \) (общее число кнопок) и \( k = 4 \) (число кнопок, которые нужно нажать).

1. Подставим значения в формулу:

\[ C(10, 4) = \frac{10!}{4!(10-4)!} = \frac{10!}{4!6!} \]

2. Распишем факториалы:

\[ \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6!}{4 \times 3 \times 2 \times 1 \times 6!} \]

3. Сократим \( 6! \):

\[ \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7}{4 \times 3 \times 2 \times 1} \]

4. Произведём вычисления:

\[ \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7}{24} = \frac{5040}{24} = 210 \]

Таким образом, существует 210 различных комбинаций.

Ответ: 210