18) На отрезке AB выбрана точка C так, что AC=12 и BC = 8. Построена окружность с центром A, проходящая через C. Найдите длину отрезка касательной, проведённой из точки B к этой окружности.

Пошаговое решение:

• Обозначим точку касания касательной, проведённой из точки B, с окружностью как K. Тогда BK — касательная к окружности, а BC — секущая.
• По теореме о касательной и секущей, квадрат длины касательной равен произведению длины секущей на её внешнюю часть: \[ BK^2 = BC \cdot (BA + AC) \]
• Из условия известно, что AC = 12 и BC = 8. Длина отрезка AB равна сумме длин отрезков AC и BC: \[ AB = AC + BC = 12 + 8 = 20 \]
• Подставим известные значения в формулу: \[ BK^2 = BC \cdot BA = BC \cdot (BC + 2 \cdot AC) = 8 \cdot (8 + 2 \cdot 12) = 8 \cdot (8 + 24) = 8 \cdot 32 = 256 \]
• Извлечём квадратный корень из обеих частей уравнения: \[ BK = \sqrt{256} = 16 \]

Ответ: 16