На острове живут 30 обезьян. Некоторые из них дружат друг с другом (дружба взаимная). Может ли оказаться так, что 9 обезьян имеют по 3 друга, 11 друга, а 10 — по 5 друзей?

Решение:

Эта задача относится к теории графов. В данном случае, обезьяны — это вершины графа, а дружба между ними — рёбра. Количество друзей у каждой обезьяны — это степень вершины.

Согласно лемме о рукопожатиях (или теореме о сумме степеней вершин), сумма степеней всех вершин в любом графе равна удвоенному числу рёбер. Это означает, что сумма степеней всегда является чётным числом.

Проверим условие задачи:

1. 9 обезьян имеют по 3 друга. Сумма степеней для этих обезьян: \( 9 \times 3 = 27 \).

2. 11 обезьян имеют по 4 друга. Сумма степеней для этих обезьян: \( 11 \times 4 = 44 \).

3. 10 обезьян имеют по 5 друзей. Сумма степеней для этих обезьян: \( 10 \times 5 = 50 \).

Теперь найдём общую сумму степеней всех обезьян:

\( 27 + 44 + 50 = 121 \).

Полученная сумма (121) является нечётным числом.

По лемме о рукопожатиях, сумма степеней вершин всегда должна быть чётной.

Так как сумма степеней оказалась нечётной, такое распределение друзей среди 30 обезьян невозможно.

Ответ: Нет, не может. Сумма степеней вершин графа (общее количество друзей) должна быть чётной, а в данном случае она равна 121.