На основании ВС равнобедренного треугольника АВС отмечены точки М и N так, что ВМ=CN. Докажите, что треугольник AMN равнобедренный.

Решение:

Дано: \( \triangle ABC \) — равнобедренный с \( AB = AC \). Точки \( M \) и \( N \) на основании \( BC \) такие, что \( BM = CN \).

Доказать: \( \triangle AMN \) — равнобедренный.

1. Рассмотрим \( \triangle ABM \) и \( \triangle ACN \).
2. Так как \( \triangle ABC \) — равнобедренный, то \( \angle ABC = \angle ACB \).
3. У нас дано, что \( BM = CN \) и \( AB = AC \).
4. По первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), \( \triangle ABM = \triangle ACN \).
5. Из равенства треугольников следует, что \( AM = AN \).
6. Следовательно, \( \triangle AMN \) — равнобедренный.

Доказано.