147 На окружности с центром О отмечены точки А и В так, что угол АОВ – прямой. Отрезок ВС – диаметр окружности. Докажите, что хорды АВ и АС равны.

Дано: Окружность с центром O, точки A и B на окружности, ∠AOB = 90°, BC - диаметр.

Доказать: AB = AC.

Решение:

1. Рассмотрим треугольник AOB. Так как OA = OB (радиусы окружности) и ∠AOB = 90°, треугольник AOB - равнобедренный прямоугольный треугольник.

2. Рассмотрим треугольник ABC. Так как BC - диаметр, ∠BAC - прямой (опирается на диаметр).

3. Найдем углы треугольника ABC. ∠ABC = ∠OBA = (180° - 90°) / 2 = 45° (так как AOB равнобедренный).

4. Значит, ∠ACB = 180° - 90° - 45° = 45°.

5. Следовательно, треугольник ABC - равнобедренный (∠ABC = ∠ACB = 45°), и AB = AC.

Ответ: Доказано, что хорды AB и AC равны.