На листочке А4: 1. Построить угол, равный данному (Построить угол и рядом с ним, равный ему) 2. Построить биссектрису угла. 3. Построить две перпендикулярные прямые. а) через точку, не лежащую на данной прямой б) через точку, лежащую на данной прямой 4. Построить середину отрезка.

Решение:

1. Построение угла, равного данному:

1. Дан угол ABC. Проведем дугу окружности с центром в вершине B и произвольным радиусом, пересекающую стороны угла в точках A и C.
2. На новой прямой (где будем строить равный угол) отметим вершину D. Проведем дугу такого же радиуса с центром в D, пересекающую прямую в точке E.
3. Измерим отрезок AC.
4. Отложим отрезок EG, равный AC, с центром в точке E на ранее проведенной дуге.
5. Соединим точки D и G. Угол EDG равен углу ABC.

2. Построение биссектрисы угла:

1. Дан угол ABC. Проведем дугу окружности с центром в вершине B, пересекающую стороны угла в точках A и C.
2. Из точек A и C проведем две дуги одинакового радиуса, пересекающиеся внутри угла в точке D.
3. Соединим вершины B и D. Полупрямая BD — биссектриса угла ABC.

3. Построение перпендикулярных прямых:

а) через точку, не лежащую на данной прямой:

1. Дана прямая m и точка P, не лежащая на ней.
2. Проведем окружность с центром в точке P и радиусом, большим расстояния от P до прямой m. Окружность пересечет прямую m в двух точках A и B.
3. Построим серединный перпендикуляр к отрезку AB. Он пройдет через точку P и будет перпендикулярен прямой m.

б) через точку, лежащую на данной прямой:

1. Дана прямая m и точка P, лежащая на ней.
2. Проведем окружность с центром в точке P и произвольным радиусом, пересекающую прямую m в двух точках A и B.
3. Из точек A и B проведем две дуги одинакового радиуса, пересекающиеся по обе стороны от прямой m в точках C и D.
4. Прямая CD перпендикулярна прямой m и проходит через точку P.

4. Построение середины отрезка:

1. Дан отрезок AB.
2. Из точки A проведем дугу окружности радиусом, большим половины отрезка AB.
3. Из точки B проведем дугу окружности тем же радиусом, пересекающую первую дугу в точках C и D.
4. Соединим точки C и D. Полупрямая CD пересечет отрезок AB в его середине.