На листе бумаги записаны все цифры от 1 до 9 включительно. Никита приписал к двум цифрам справа по 1 так, что получилось два двузначных числа и семь цифр. После этого он сложил все числа и получил 191. К каким двум цифрам Никита приписал 1?

Решение:

Изначально на листе записаны цифры: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Их сумма равна \( 1+2+3+4+5+6+7+8+9 = 45 \).

Никита приписал к двум цифрам справа по 1. Это означает, что некоторые цифры стали частью двузначных чисел. Предположим, что были изменены цифры \( a \) и \( b \), которые стояли рядом. После приписки единицы справа, эти цифры стали числами \( 10a + 1 \) и \( 10b + 1 \), если они были первой цифрой двузначного числа. Если они были вторыми, то числа стали \( 10c + a \) и \( 10d + b \).

Однако, условие гласит, что получилось два двузначных числа и семь цифр. Это значит, что были взяты две одиночные цифры, к которым справа приписали 1, образовав два двузначных числа. Оставшиеся 7 цифр остались одиночными.

Пусть исходные цифры были \( x_1, x_2, ..., x_9 \). Сумма их равна 45.

После приписки единицы, две цифры \( x_i \) и \( x_j \) стали двузначными числами \( 10x_i + 1 \) и \( 10x_j + 1 \). Остальные 7 цифр остались прежними.

Сумма всех чисел стала 191.

Сумма исходных 9 цифр = 45.

Сумма новых чисел = \( (45 - x_i - x_j) + (10x_i + 1) + (10x_j + 1) \) = 191.

Упрощаем уравнение:

\( 45 - x_i - x_j + 10x_i + 1 + 10x_j + 1 = 191 \)

\( 47 + 9x_i + 9x_j = 191 \)

\( 9(x_i + x_j) = 191 - 47 \)

\( 9(x_i + x_j) = 144 \)

\( x_i + x_j = \frac{144}{9} \)

\( x_i + x_j = 16 \)

Нам нужно найти две цифры из набора {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, сумма которых равна 16. Возможные пары:

• 7 и 9
• 8 и 8 (невозможно, так как цифры разные, если не сказано иное. Но в условии сказано 'к двум цифрам', подразумевая, что это могут быть одинаковые цифры, если они есть в исходном наборе. В данном случае, цифра 8 присутствует один раз)

Если взять 7 и 9, то после приписки единицы справа получатся числа 71 и 91. Проверим сумму: \( 1+2+3+4+5+6+8 + 71 + 91 = 45 - 7 - 9 + 71 + 91 = 29 + 71 + 91 = 100 + 91 = 191 \). Это подходит.

Если бы мы брали 8 и 8, то такое условие не выполняется, т.к. цифра 8 в наборе одна.

Итак, две цифры, к которым Никита приписал 1, это 7 и 9.

Ответ: к цифрам 7 и 9.