На координатной плоскости изображены векторы а и Ъ. Найдите угол между векторами.

Решение:

• Найдем координаты векторов \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\).
• Вектор \(\vec{a}\) начинается в точке (1; 1) и заканчивается в точке (3; 2). Следовательно, его координаты:

\[\vec{a} = (3 - 1; 2 - 1) = (2; 1)\]

• Вектор \(\vec{b}\) начинается в точке (6; 4) и заканчивается в точке (5; 2). Следовательно, его координаты:

\[\vec{b} = (5 - 6; 2 - 4) = (-1; -2)\]

• Косинус угла \(\theta\) между векторами \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) можно найти по формуле:

\[\cos(\theta) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|}\]

• Где \(\vec{a} \cdot \vec{b}\) - скалярное произведение векторов, а \(|\vec{a}|\) и \(|\vec{b}|\) - их длины.
• Скалярное произведение векторов \(\vec{a} = (2; 1)\) и \(\vec{b} = (-1; -2)\):

\[\vec{a} \cdot \vec{b} = (2 \cdot -1) + (1 \cdot -2) = -2 - 2 = -4\]

• Длина вектора \(\vec{a}\):

\[|\vec{a}| = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}\]

• Длина вектора \(\vec{b}\):

\[|\vec{b}| = \sqrt{(-1)^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}\]

• Теперь найдем косинус угла:

\[\cos(\theta) = \frac{-4}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}} = \frac{-4}{5} = -0.8\]

• Угол, косинус которого равен -0.8, равен:

\[\theta = \arccos(-0.8)\]

• \(\arccos(-0.8)\) приблизительно равен 143.13°.

Ответ: Угол между векторами \(\approx 143.13^\circ\).