127 На конференцию собрались ученые. Могло ли оказаться так, что пятеро из них знакомы ровно с тремя другими, а все остальные имеют ровно четверых знакомых среди собравшихся?

Пусть всего на конференции было N ученых. Если 5 из них имеют ровно 3 знакомых, а остальные (N-5) имеют ровно 4 знакомых, то сумма всех знакомств (сумма степеней вершин графа, где вершины - ученые, а ребра - знакомства) будет равна 5 * 3 + (N-5) * 4 = 15 + 4N - 20 = 4N - 5. Эта сумма должна быть четной (так как каждое ребро учитывается дважды). То есть 4N - 5 должно быть четным числом. Если 4N - 5 - четное число, то 4N должно быть нечетным числом (так как четное + нечетное = нечетное, а нечетное + нечетное = четное). Но 4N всегда четное, поскольку 4 - четное число. Следовательно, такая ситуация невозможна.