На клетчатой бумаге с размером клетки 1 х 1 нарисован треугольник АВС. Найдите сумму углов АВС и АСВ. Ответ дайте в градусах.

1. Определим координаты вершин треугольника, приняв точку пересечения линий сетки в нижнем левом углу за начало координат (0,0). Вершина А имеет координаты (0,1), вершина В имеет координаты (1,4), вершина С имеет координаты (3,0).

2. Найдем векторы сторон треугольника: $$\vec{BA} = (0-1, 1-4) = (-1, -3)$$ и $$\vec{CA} = (0-3, 1-0) = (-3, 1)$$.

3. Используем формулу для нахождения косинуса угла между векторами: $$\cos(\alpha) = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| |\vec{v}|}$$. Для угла АВС: $$\cos(\angle ABC) = \frac{\vec{BA} \cdot \vec{BC}}{|\vec{BA}| |\vec{BC}|}$$. $$\vec{BC} = (3-1, 0-4) = (2, -4)$$. $$\vec{BA} \cdot \vec{BC} = (-1)(2) + (-3)(-4) = -2 + 12 = 10$$. $$|\vec{BA}| = \sqrt{(-1)^2 + (-3)^2} = \sqrt{10}$$. $$|\vec{BC}| = \sqrt{2^2 + (-4)^2} = \sqrt{4+16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$$. $$\cos(\angle ABC) = \frac{10}{\sqrt{10} \cdot 2\sqrt{5}} = \frac{10}{2\sqrt{50}} = \frac{5}{\sqrt{50}} = \frac{5}{5\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$$. Следовательно, $$\angle ABC = 45^{\circ}$$.

4. Для угла АСВ: $$\vec{CB} = (1-3, 4-0) = (-2, 4)$$ и $$\vec{CA} = (-3, 1)$$. $$\vec{CB} \cdot \vec{CA} = (-2)(-3) + (4)(1) = 6 + 4 = 10$$. $$|\vec{CB}| = \sqrt{(-2)^2 + 4^2} = \sqrt{4+16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$$. $$|\vec{CA}| = \sqrt{(-3)^2 + 1^2} = \sqrt{9+1} = \sqrt{10}$$. $$\cos(\angle ACB) = \frac{10}{2\sqrt{5} \cdot \sqrt{10}} = \frac{10}{2\sqrt{50}} = \frac{5}{\sqrt{50}} = \frac{5}{5\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$$. Следовательно, $$\angle ACB = 45^{\circ}$$.

5. Сумма углов АВС и АСВ равна $$45^{\circ} + 45^{\circ} = 90^{\circ}$$.