На клетчатой бумаге с размером клетки 1 х 1 нарисован треугольник АВС. Найдите длину биссектрисы угла А треугольника.

1. Определим координаты вершин: A=(1,1), B=(2,3), C=(3,1). Вычислим длины сторон AB = sqrt((2-1)^2 + (3-1)^2) = sqrt(1+4) = sqrt(5) и AC = sqrt((3-1)^2 + (1-1)^2) = sqrt(4+0) = 2. Длина стороны BC = sqrt((3-2)^2 + (1-3)^2) = sqrt(1+4) = sqrt(5).
2. Треугольник ABC является равнобедренным (AB=BC). Биссектриса угла A делит противоположную сторону BC в отношении длин прилежащих сторон AB и AC. По теореме о биссектрисе, если AD - биссектриса, то BD/DC = AB/AC = sqrt(5)/2.
3. Используя формулу длины биссектрисы: $$l_a = \frac{2}{b+c}\sqrt{bcs(s-a)}$$, где a=BC=sqrt(5), b=AC=2, c=AB=sqrt(5), s = (a+b+c)/2 = (sqrt(5)+2+sqrt(5))/2 = (2*sqrt(5)+2)/2 = sqrt(5)+1. $$l_a = \frac{2}{2+sqrt(5)}\sqrt{2*sqrt(5)*(sqrt(5)+1 - sqrt(5))}} = \frac{2}{2+sqrt(5)}\sqrt{2*sqrt(5)*1}} = \frac{2\sqrt{2\sqrt{5}}}{(2+sqrt(5))}$$.
4. Альтернативный метод: Так как треугольник равнобедренный, биссектриса угла A будет также медианой и высотой к стороне BC. Найдем середину BC, M = ((2+3)/2, (3+1)/2) = (2.5, 2). Длина биссектрисы AM = sqrt((2.5-1)^2 + (2-1)^2) = sqrt(1.5^2 + 1^2) = sqrt(2.25 + 1) = sqrt(3.25) = sqrt(13/4) = sqrt(13)/2.