На клетчатой бумаге с размером клетки 1 × 1 нарисована «змейка», представляющая собой ломаную, состоящую из чётного числа звеньев, идущих по линиям сетки. На рисунке изображён случай, когда последнее звено имеет длину 10. Найдите длину ломаной, построенной аналогичным образом, последнее звено которой имеет длину 190.

Решение:

Ломаная «змейка», построенная по линиям сетки, состоит из звеньев, которые чередуются по направлению (например, вправо, вверх, влево, вниз и т.д.). Длины звеньев увеличиваются. В данном случае, так как число звеньев чётное, последняя пара звеньев будет иметь одинаковую длину. Если последнее звено имеет длину 10, то предпоследнее звено тоже имеет длину 10.

Предположим, что длины звеньев в парах равны: \( l_1 = l_2, l_3 = l_4, ..., l_{2n-1} = l_{2n} \).

В первом случае, последнее звено имеет длину 10. Это значит, что \( l_{2n} = 10 \). Так как число звеньев чётное, \( l_{2n-1} = l_{2n} = 10 \).

Второй случай: последнее звено имеет длину 190. Это значит, что \( l_{2m} = 190 \). Так как число звеньев чётное, \( l_{2m-1} = l_{2m} = 190 \).

Длина ломаной — это сумма длин всех её звеньев. Если последнее звено имеет длину 10, то, вероятно, предыдущие звенья тоже имели длины 10, 8, 8, 6, 6, 4, 4, 2, 2. Сумма длин всех звеньев: \( 2+2+4+4+6+6+8+8+10+10 = 60 \).

Если последнее звено имеет длину 190, то предыдущие звенья были 190, 188, 188, ..., 2, 2. Сумма длин всех звеньев: \( 2 \cdot (2+4+6+...+188+190) \). Это сумма арифметической прогрессии. \( S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n \).

Количество звеньев в последовательности 2, 4, ..., 190: \( 190 = 2 + (n-1)2 \) \( 188 = (n-1)2 \) \( 94 = n-1 \) \( n=95 \).

Сумма длин этих звеньев: \( \frac{2 + 190}{2} \cdot 95 = \frac{192}{2} \cdot 95 = 96 \cdot 95 = 9120 \).

Так как звеньев чётное число, и последнее звено 190, то предпоследнее тоже 190. Значит, всего звеньев 2*95 = 190.

Общая длина ломаной, где последнее звено 10, составляет: \( 2*(2+4+6+8+10) = 2*30 = 60 \).

Если последнее звено 190, то длина ломаной будет: \( 2*(2+4+6+...+190) = 2*9120 = 18240 \).

Проверим рисунок. Если последнее звено 10, то оно занимает 10 клеток. То есть, если мы предположим, что длины звеньев идут 2, 2, 4, 4, 6, 6, 8, 8, 10, 10, то общая длина будет 60.

Если последнее звено 190, то оно занимает 190 клеток. Тогда предыдущее звено тоже 190, следующее 188, и так далее до 2. Общая длина будет \( 2*(2+4+6+...+190) \). Сумма арифметической прогрессии \( S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n \). Здесь \( n = \frac{190-2}{2} + 1 = 94+1 = 95 \). Сумма = \( \frac{2+190}{2} \cdot 95 = 96 \cdot 95 = 9120 \). Общая длина = \( 2 * 9120 = 18240 \).

Ответ: 18240