На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 нарисован треугольник АВС. Найдите градусную меру угла АВС.

Решение:

Чтобы найти градусную меру угла \( \angle ABC \), воспользуемся координатами вершин треугольника. Предположим, что точка \( A \) имеет координаты \( (1, 2) \), точка \( B \) — \( (0, 5) \), а точка \( C \) — \( (5, 3) \).

Для определения угла \( \angle ABC \) удобно использовать векторы \( \vec{BA} \) и \( \vec{BC} \).

Вектор \( \vec{BA} \):

\( \vec{BA} = A - B = (1-0, 2-5) = (1, -3) \)

Вектор \( \vec{BC} \):

\( \vec{BC} = C - B = (5-0, 3-5) = (5, -2) \)

Для нахождения угла между векторами используем формулу:

\[ \cos(\angle ABC) = \frac{\vec{BA} \cdot \vec{BC}}{||\vec{BA}|| · ||\vec{BC}||} \]

Скалярное произведение векторов \( \vec{BA} \cdot \vec{BC} \):

\( \vec{BA} \cdot \vec{BC} = (1 \cdot 5) + (-3 \cdot -2) = 5 + 6 = 11 \)

Длина вектора \( \vec{BA} \):

\[ ||\vec{BA}|| = \sqrt{1^2 + (-3)^2} = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10} \]

Длина вектора \( \vec{BC} \):

\[ ||\vec{BC}|| = \sqrt{5^2 + (-2)^2} = \sqrt{25 + 4} = \sqrt{29} \]

Теперь подставим значения в формулу для косинуса угла:

\[ \cos(\angle ABC) = \frac{11}{\sqrt{10} · \sqrt{29}} = \frac{11}{\sqrt{290}} \]

\( \cos(\angle ABC) \approx \frac{11}{17.03} \approx 0.6459 \)

Теперь найдём сам угол, взяв арккосинус:

\[ \angle ABC = \arccos\left(\frac{11}{\sqrt{290}}\right) \approx \arccos(0.6459) \approx 49.76^{\circ} \]

Округлим до ближайшего целого градуса.

Ответ: Угол ABC примерно равен 50°.