На клетчатой бумаге изображён треугольник MKN. Найди sin ∠K.

Решение:

Треугольник MKN является прямоугольным, так как сторона MK перпендикулярна стороне MN (они идут вдоль линий сетки).

В прямоугольном треугольнике синус угла определяется как отношение противолежащего катета к гипотенузе.

Для угла ∠K:

• Противолежащий катет — это сторона MN.
• Гипотенуза — это сторона KN.

Определим длины сторон по клеткам:

• Катет MK = 4 клетки.
• Катет MN = 6 клеток.

Найдем длину гипотенузы KN по теореме Пифагора:

\[ KN^2 = MK^2 + MN^2 \]\[ KN^2 = 4^2 + 6^2 \]\[ KN^2 = 16 + 36 \]\[ KN^2 = 52 \]\[ KN = \sqrt{52} = \sqrt{4 \cdot 13} = 2\sqrt{13} \text{ клеток} \]

Вычисление синуса ∠K:

\[ \sin \angle K = \frac{MN}{KN} = \frac{6}{2\sqrt{13}} = \frac{3}{\sqrt{13}} \]

Для удобства запишем без иррациональности в знаменателе:

\[ \sin \angle K = \frac{3}{\sqrt{13}} \cdot \frac{\sqrt{13}}{\sqrt{13}} = \frac{3\sqrt{13}}{13} \]

Ответ: $$\sin \angle K = \frac{3\sqrt{13}}{13}$$.