На карточках написаны цифры 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9. Наугад берут 4 карточки и выкладывают их в ряд. Какова вероятность того, что: 1) получится четное число; 2) получится число 1234?

Решение:

1) Чтобы число было четным, последняя цифра должна быть четной. Из имеющихся цифр (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) четыре четные (2, 4, 6, 8) и пять нечетных (1, 3, 5, 7, 9). Всего можно составить $$9 \times 8 \times 7 \times 6$$ четырехзначных чисел из этих цифр, где каждая цифра используется только один раз.

Чтобы число было четным, последняя цифра должна быть четной. Тогда общее количество четных чисел будет равно количеству способов выбрать первую цифру, умноженному на количество способов выбрать вторую цифру, умноженному на количество способов выбрать третью цифру, умноженному на количество способов выбрать последнюю (четную) цифру.

1. Выберем последнюю цифру (четную): 4 варианта (2, 4, 6, 8).
2. Выберем первую цифру: 8 вариантов (все оставшиеся, кроме уже выбранной четной).
3. Выберем вторую цифру: 7 вариантов (все оставшиеся).
4. Выберем третью цифру: 6 вариантов (все оставшиеся).

Тогда количество четных чисел: $$8 \times 7 \times 6 \times 4$$

Общее количество четырехзначных чисел: $$9 \times 8 \times 7 \times 6$$

Вероятность того, что число будет четным:

$$P(\text{четное}) = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 4}{9 \times 8 \times 7 \times 6} = \frac{4}{9}$$

2) Вероятность получить число 1234. Общее количество четырехзначных чисел, которые можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 без повторений: $$9 \times 8 \times 7 \times 6 = 3024$$

Существует только одно число 1234, которое мы хотим получить. Следовательно, вероятность получить именно это число:

$$P(1234) = \frac{1}{3024}$$

Ответ:

• $$P(\text{четное}) = \frac{4}{9}$$
• $$P(1234) = \frac{1}{3024}$$