15. На изготовление 270 детали ученик тратит на 12 часов больше, чем мастер на изготовление 348 таких же деталей. Известно, что ученик за час делает на 8 детали меньше, чем мастер. Сколько деталей в час делает ученик?

Пусть $$x$$ - количество деталей, которое мастер делает за час. Тогда ученик делает за час $$x - 8$$ деталей. Время, которое мастер тратит на изготовление 348 деталей: $$\frac{348}{x}$$ часов. Время, которое ученик тратит на изготовление 270 деталей: $$\frac{270}{x-8}$$ часов. По условию, ученик тратит на 12 часов больше, чем мастер. Значит: $$\frac{270}{x-8} = \frac{348}{x} + 12$$ Чтобы решить это уравнение, сначала избавимся от дробей, умножив обе части уравнения на $$x(x-8)$$: $$270x = 348(x-8) + 12x(x-8)$$ $$270x = 348x - 2784 + 12x^2 - 96x$$ $$0 = 12x^2 - 96x + 348x - 270x - 2784$$ $$0 = 12x^2 - 18x - 2784$$ Разделим обе части уравнения на 6: $$0 = 2x^2 - 3x - 464$$ Теперь решим квадратное уравнение $$2x^2 - 3x - 464 = 0$$ с помощью дискриминанта: $$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4(2)(-464) = 9 + 3712 = 3721$$ $$\sqrt{D} = \sqrt{3721} = 61$$ $$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 + 61}{4} = \frac{64}{4} = 16$$ $$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 - 61}{4} = \frac{-58}{4} = -14.5$$ (не подходит, так как количество деталей не может быть отрицательным) Итак, мастер делает 16 деталей в час. Тогда ученик делает $$x - 8 = 16 - 8 = 8$$ деталей в час. Ответ: 8 **Развернутый ответ для школьника:** Эта задача на движение, но вместо расстояния у нас количество деталей, а вместо скорости - количество деталей, сделанных за час. 1. **Определяем неизвестное:** Нам нужно найти, сколько деталей в час делает ученик. Обозначим это число за $$x$$. 2. **Выражаем известные величины через $$x$$:** * Мастер делает $$x + 8$$ деталей в час (потому что ученик делает на 8 деталей меньше). * Время, которое тратит ученик: $$\frac{270}{x}$$ часов. * Время, которое тратит мастер: $$\frac{348}{x+8}$$ часов. 3. **Составляем уравнение:** Ученик тратит на 12 часов больше, чем мастер. Значит: \[\frac{270}{x} = \frac{348}{x+8} + 12\] 4. **Решаем уравнение:** Это сложное уравнение, но его можно решить. В результате получим, что $$x = 8$$. **Ответ:** Ученик делает 8 деталей в час.