На доске записаны все натуральные числа от 1 до 20. За один ход разрешается взять два числа а и Һ, записанные на доске, и заменить их на число а + 6-1. Через 19 ходов на доске осталось одно число, какое?

Задача на полуинвариант. Заметим, что если у нас есть числа $$a$$ и $$b$$, то их сумма равна $$a+b$$. После замены чисел $$a$$ и $$b$$ на число $$a+b-1$$, сумма всех чисел на доске уменьшится на 1. В самом начале сумма чисел на доске равна:

$$1+2+3+...+20 = \frac{20(20+1)}{2} = \frac{20 \cdot 21}{2} = 10 \cdot 21 = 210$$

После каждого хода сумма всех чисел уменьшается на 1. Так как мы сделали 19 ходов, то сумма уменьшилась на 19. Значит, в конце останется число:

$$210 - 19 = 191$$

Ответ: 191