На доске записаны фрагменты заданий: при sin α = √2/2 найти tg α; при cos α = 1/2 найти sin α и ctg α; найти cos α, если sin α = 1, и sin α, если cos α = −1. Условия об остроте угла или его четверти на фото не видны.

Используем тождество \(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\) и определения \( g\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\), \(\ctg\alpha=\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}\). Для первых двух фрагментов значения зависят от четверти угла. Если подразумевается острый угол, получаются следующие ответы.

1. При \(\sin\alpha=\frac{\sqrt2}{2}\): \(\cos\alpha=\sqrt{1-\sin^2\alpha}=\sqrt{1-\frac12}=\frac{\sqrt2}{2}\), так как косинус острого угла положителен. Тогда \( g\alpha=\frac{\sqrt2/2}{\sqrt2/2}=1\).

2. При \(\cos\alpha=\frac12\): \(\sin\alpha=\sqrt{1-\cos^2\alpha}=\sqrt{1-\frac14}=\frac{\sqrt3}{2}\), так как синус острого угла положителен. Тогда \(\ctg\alpha=\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}=\frac{1/2}{\sqrt3/2}=\frac{\sqrt3}{3}\).

3. Если \(\sin\alpha=1\), то \(\cos^2\alpha=1-1=0\), поэтому \(\cos\alpha=0\).

4. Если \(\cos\alpha=-1\), то \(\sin^2\alpha=1-(-1)^2=0\), поэтому \(\sin\alpha=0\).

Без условия об остром угле в первых двух пунктах возможны знаковые варианты: при \(\sin\alpha=\frac{\sqrt2}{2}\), \( g\alpha=1\) или \(-1\); при \(\cos\alpha=\frac12\), \(\sin\alpha=\pm\frac{\sqrt3}{2}\) и \(\ctg\alpha=\pm\frac{\sqrt3}{3}\), с одинаковым выбором знака.