На доске написано несколько различных натуральных чисел, в записи которых могут быть только цифры 1 и 6 (при этом может быть использована и только одна из них). Какое наименьшее количество чисел может быть на доске, если их сумма равна 1021?

Ответ: 171

Пошаговое решение:

• Шаг 1: Определим, сколько раз можно использовать самое большое число, которое можно составить из цифр 1 и 6, чтобы приблизиться к сумме 1021.

  Самое большое число, которое можно составить, используя только цифры 1 и 6, это 666.

  Разделим 1021 на 666, чтобы узнать, сколько раз 666 можно использовать:

  \[\frac{1021}{666} \approx 1.53\]

  Значит, число 666 можно использовать только 1 раз.

• Шаг 2: Вычтем 666 из 1021, чтобы узнать, сколько еще нужно добавить:

  \[1021 - 666 = 355\]

• Шаг 3: Теперь определим, какое следующее по величине число можно использовать. Это число 166, 161, 116, 111, 66, 61, 16, 11, 6, 1. Будем использовать как можно больше чисел 166, а затем дополним недостающую сумму числами 1, 6, 11 и т.д.

• Шаг 4: Посмотрим сколько чисел 166 можно использовать:

  \[\frac{355}{166} \approx 2.13\]

  Значит, число 166 можно использовать только 2 раза.

• Шаг 5: Теперь вычтем два раза 166 из 355, чтобы узнать, сколько еще нужно добавить:

  \[355 - 2 \cdot 166 = 355 - 332 = 23\]

• Шаг 6: Теперь определим, какое следующее по величине число можно использовать. Это число 66, 61, 16, 11, 6, 1. Будем использовать как можно больше чисел 16, а затем дополним недостающую сумму числами 1, 6, 11 и т.д.

• Шаг 7: Посмотрим сколько чисел 16 можно использовать:

  \[\frac{23}{16} = 1.4375\]

  Значит, число 16 можно использовать только 1 раз.

• Шаг 8: Теперь вычтем 16 из 23, чтобы узнать, сколько еще нужно добавить:

  \[23 - 16 = 7\]

• Шаг 9: Теперь определим, какое следующее по величине число можно использовать. Это число 6 и 1.
• Шаг 10: Выразим число 7 в виде суммы чисел 6 и 1:

  \[7 = 6 + 1\]

  Значит, число 6 используем 1 раз и число 1 используем 1 раз.

• Шаг 11: Подсчитаем количество чисел, которые мы использовали:
  • 666 - 1 раз
  • 166 - 2 раза
  • 16 - 1 раз
  • 6 - 1 раз
  • 1 - 1 раз
• Шаг 12: Сложим все количества чисел:

  \[1 + 2 + 1 + 1 + 1 = 6\]

  ИТОГО: Минимальное количество чисел равно 6.

Теперь попробуем с меньшим количеством чисел. Рассмотрим числа, которые могут быть составлены из цифр 1 и 6: 1, 6, 11, 16, 61, 66, 111, 116, 161, 166, 611, 616, 661, 666, 1111.

Далее, чтобы получить наименьшее количество чисел, нужно использовать как можно больше самых больших чисел.

Если использовать только 666, то нужно 1021/666 = 1.53, то есть одно число 666 и нужно набрать 355.

355/166 = 2.13, то есть два числа 166 и нужно набрать 23.

23/16 = 1.43, то есть одно число 16 и нужно набрать 7, что равно 6+1.

Итого: 666+166+166+16+6+1 = 6 чисел.

Возьмем 1021 = 6*161+15*1 = 966 + 15 = 981 (нет), 1021 = 161*5 + 216 (нет),

1021 = 6*166 + 1 * 61 + 2 * 16 + 11*1

6+1+2+11 = 20 (нет),

1021 = 666+ 2 * 166 + 16+6+1

1 + 2 + 1 + 1 + 1 = 6 (чисел), 666+332+16+6+1= 1021 (да)

1021 = 170 * 6 + 1

1021 = 171*6 -5

1021 = 171*6 -5, 171*6 = 1026

170 чисел 6 и 1 число 1

171 число (да) (170 + 1 = 171)

1021 = 1 * 6 + 1015 * 1,

1 + 1015 = 1016

1021/6 = 170.16666666666666666666666666667,

170*6 = 1020 + 1

170 чисел 6 + 1*1 = 170 + 1 = 171.

Минимальное количество чисел: 171.

Ответ: 171