На доске написано число, над которым (возможно, неоднократно) производятся действия, описанные ниже. За одно действие можно отнять от числа 27 либо переставить цифры в числе произвольным образом (при этом мы разрешаем ставить цифру 0 на первое место; например, число 0456 — это то же число, что и 456). В результате действия старое число стирается, а вместо него записывается новое. Изначально на доске написано число 2020. Какое минимальное положительное число можно получить такими действиями?

Решение:

Начальное число: 2020.

Действия, которые можно выполнять:

1. Вычесть 27.
2. Переставить цифры (с возможностью добавления нуля в начале).

Цель: получить минимальное положительное число.

Шаг 1: Минимизация числа перестановкой цифр.

Из числа 2020 можно получить:

• 2002 (перестановка 0 и 2)
• 0202 (или 202, перестановка 2 и 0)

Число 202 — меньше, чем 2002.

Шаг 2: Применение вычитания.

Теперь будем вычитать 27 из наименьшего полученного числа (202) и переставлять цифры, чтобы ещё больше уменьшить его.

• 202 - 27 = 175

Из числа 175 можно получить:

• 157 (перестановка 7 и 5)
• 0157 (или 157)
• 0517 (или 517)
• 0715 (или 715)
• 507
• 570
• 705
• 750

Наименьшее из них — 157.

Шаг 3: Продолжаем вычитать и переставлять.

• 157 - 27 = 130

Из числа 130 можно получить:

• 0130 (или 130)
• 0310 (или 310)
• 0301 (или 301)
• 103
• 301
• 310

Наименьшее из них — 103.

Шаг 4: Продолжаем вычитать и переставлять.

• 103 - 27 = 76

Из числа 76 можно получить:

• 67

Наименьшее — 67.

Шаг 5: Продолжаем вычитать и переставлять.

• 67 - 27 = 40

Из числа 40 можно получить:

• 04 (или 4)

Наименьшее — 4.

Шаг 6: Продолжаем вычитать и переставлять.

• 4 - 27 = -23

Мы получили отрицательное число. Так как в условии сказано «минимальное положительное число», то 4 — это минимальное положительное число, которое мы получили перед тем, как стало отрицательным.

Проверим, можно ли получить меньшее положительное число, если на каком-то этапе переставить цифры перед вычитанием.

Например, после получения 76, мы получили 40. Если бы из 76 мы сначала получили 67, то 67 - 27 = 40. И далее 40 -> 4.

Если из 103 получили 301, то 301 - 27 = 274. Перестановка: 247. 247 - 27 = 220. Перестановка: 202. 202 - 27 = 175. Перестановка: 157. 157 - 27 = 130. Перестановка: 103. 103 - 27 = 76. Перестановка: 67. 67 - 27 = 40. Перестановка: 4.

Если из 130 получили 310, то 310 - 27 = 283. Перестановка: 238. 238 - 27 = 211. Перестановка: 112. 112 - 27 = 85. Перестановка: 58. 58 - 27 = 31. Перестановка: 13. 13 - 27 = -14.

Таким образом, мы получили 4, а затем ушли в отрицательные числа. Положительное число 4 — минимальное.

Ответ: 4.