На дифракционную решётку, имеющую 400 штрихов на 1 см, падает по нормали параллельный пучок белого света. Между решёткой и экраном вплотную к решётке расположена линза, которая фокусирует свет, проходящий через решётку, на экране. Чему равна ширина спектра третьего порядка на экране, если расстояние от линзы до экрана равно 2,5 м? Длины красной и фиолетовой волн соответственно равны 8·10⁻⁷ м и 4·10⁻⁷ м. Считать угол отклонения лучей решёткой ф малым, так что sinφ ≈ tgφ ≈ φ.

Дано:

• Число штрихов на 1 см: 400
• Расстояние от линзы до экрана: \( L = 2.5 \) м
• Длина красной волны: \( \lambda_{красн} = 8 \cdot 10^{-7} \) м
• Длина фиолетовой волны: \( \lambda_{фиол} = 4 \cdot 10^{-7} \) м
• Порядок спектра: \( k = 3 \)
• \( \sin \phi \approx \operatorname{tg} \phi \approx \phi \)

Решение:

1. Найдем период решётки \( d \). Так как на 1 см приходится 400 штрихов, то период равен: \[ d = \frac{1 \text{ см}}{400} = \frac{0.01 \text{ м}}{400} = 0.000025 \text{ м} = 2.5 \cdot 10^{-5} \text{ м} \]
2. Для красной линии найдем угол отклонения \( \phi_{красн} \) по формуле дифракции: \[ d \sin \phi_{красн} = k \lambda_{красн} \] Так как \( \sin \phi \approx \phi \), то: \[ \phi_{красн} \approx \frac{k \lambda_{красн}}{d} = \frac{3 \cdot 8 \cdot 10^{-7} \text{ м}}{2.5 \cdot 10^{-5} \text{ м}} = \frac{24 \cdot 10^{-7}}{2.5 \cdot 10^{-5}} = 9.6 \cdot 10^{-2} = 0.096 \text{ радиан} \]
3. Найдем положение красной линии на экране \( x_{красн} \) (расстояние от центра спектра). Так как \( \operatorname{tg} \phi \approx \phi \), то: \[ x_{красн} = L \operatorname{tg} \phi_{красн} \approx L \phi_{красн} = 2.5 \text{ м} \cdot 0.096 = 0.24 \text{ м} \]
4. Для фиолетовой линии найдем угол отклонения \( \phi_{фиол} \) : \[ \phi_{фиол} \approx \frac{k \lambda_{фиол}}{d} = \frac{3 \cdot 4 \cdot 10^{-7} \text{ м}}{2.5 \cdot 10^{-5} \text{ м}} = \frac{12 \cdot 10^{-7}}{2.5 \cdot 10^{-5}} = 4.8 \cdot 10^{-2} = 0.048 \text{ радиан} \]
5. Найдем положение фиолетовой линии на экране \( x_{фиол} \) : \[ x_{фиол} = L \operatorname{tg} \phi_{фиол} \approx L \phi_{фиол} = 2.5 \text{ м} \cdot 0.048 = 0.12 \text{ м} \]
6. Ширина спектра третьего порядка равна разности расстояний от центра до красной и фиолетовой линий: \[ \Delta x = x_{красн} - x_{фиол} = 0.24 \text{ м} - 0.12 \text{ м} = 0.12 \text{ м} \]

Ответ: 0.12 м.