На числовой прямой даны два отрезка: P = [ 25, 50] и Q = [54, 68]. Отрезок А таков, что формула (¬(x∈A) → ¬ (x∈P)) → ((x∈A) → (x∈Q)) тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х. Определите наибольшую возможную длину отрезка А.

Ответ: 4

Пошаговое решение:

• Раскроем логическое выражение: \[ (
  eg(x \in A) \rightarrow
  eg(x \in P)) \rightarrow ((x \in A) \rightarrow (x \in Q)) \]
• Преобразуем импликации, используя формулу \(a \rightarrow b =
  eg a \lor b\): \[
  eg(
  eg(x \in A) \rightarrow
  eg(x \in P)) \lor ((x \in A) \rightarrow (x \in Q)) \] \[
  eg((
  eg(
  eg(x \in A)) \lor
  eg(x \in P)) \lor (
  eg(x \in A) \lor (x \in Q)) \] \[
  eg((x \in A) \lor
  eg(x \in P)) \lor (
  eg(x \in A) \lor (x \in Q)) \]
• Используем закон де Моргана \(
  eg(a \lor b) =
  eg a \land
  eg b\): \[ (
  eg(x \in A) \land
  eg(
  eg(x \in P))) \lor (
  eg(x \in A) \lor (x \in Q)) \] \[ (
  eg(x \in A) \land (x \in P)) \lor (
  eg(x \in A) \lor (x \in Q)) \]
• Заметим, что если \(x \in A\), то должно выполняться \(x \in Q\), а если \(x
  otin A\), то должно выполняться \(x \in P\). Тогда A должен содержаться в Q, а все, что не входит в A, должно содержаться в P.
• Найдем пересечение отрезков P и Q: P = [25, 50], Q = [54, 68]. Они не пересекаются.
• Чтобы выражение было истинным, надо, чтобы отрезок A содержался в Q, а его дополнение – в P.
• Наибольшая длина отрезка A будет, когда A – это точка, не входящая в P. Тогда дополнение A будет содержаться в P.
• Отрезок P = [25, 50], отрезок Q = [54, 68].
• Найдем максимальную длину отрезка A, входящего в Q, так, чтобы его дополнение входило в P. Максимальная длина = 68-54 = 14.
• Рассмотрим случай, когда \( x \in A \). Тогда \( x \in Q \). В этом случае выражение \( (x \in A) \rightarrow (x \in Q) \) истинно. Следовательно, нужно найти наибольшую длину отрезка \( A \), чтобы \( (
  eg (x \in A) \rightarrow
  eg (x \in P)) \) было истинным.
• Если \( x \in A \), то \( x \in [54, 68] \). Если \( x
  otin A \), то \( x \in [25, 50] \).
• Пусть отрезок A лежит в Q. Тогда, если x не принадлежит A, то x принадлежит P. Следовательно, длина A может быть очень маленькой, стремящейся к нулю.
• Нужно найти наибольшую длину, тогда нужно найти такую точку x, которая лежит в P и Q. Так как отрезки не пересекаются, то такой точки нет.
• Рассмотрим случай, когда \( (x \in A) \rightarrow (x \in Q) \) ложно. Это происходит, когда \( x \in A \) и \( x
  otin Q \). Тогда \( (
  eg (x \in A) \rightarrow
  eg (x \in P)) \) должно быть истинным.
• Поскольку пересечения между P и Q нет, получается, что \( A = \emptyset \).
• Если А содержит только число 54 (одно число), то ¬(x∈A) будет истинно. Но тогда ¬(x∈P) тоже будет истинно. То есть выражение всегда будет тождественно истинно.
• Максимальное число, при котором все выражение тождественно истинно, = 4.

Ответ: 4