На биссектрисе острого угла AOB отмечена точка K. Докажи, что расстояния от точки K до сторон угла равны.

Для доказательства того, что расстояния от точки K, лежащей на биссектрисе угла AOB, до сторон угла равны, рассмотрим следующий рисунок и рассуждения:

Дано:

• Угол AOB – острый.
• OK – биссектриса угла AOB (то есть ∠AOK = ∠BOK).
• Точка K лежит на биссектрисе OK.
• KA ⊥ OA (KA – расстояние от K до стороны OA).
• KB ⊥ OB (KB – расстояние от K до стороны OB).

Требуется доказать: KA = KB.

Доказательство:

1. Рассмотрим треугольники AOK и BOK.
2. В этих треугольниках:
   • OK – общая сторона.
   • ∠AOK = ∠BOK (так как OK – биссектриса угла AOB).
   • ∠KAO = ∠KBO = 90° (по условию KA ⊥ OA и KB ⊥ OB).
3. Следовательно, треугольники AOK и BOK равны по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам).
4. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон, то есть KA = KB.

Вывод:

Расстояния от точки K до сторон угла AOB равны, что и требовалось доказать.