N12. Гипотенуза равнобедренного прямоугольного треугольника равна с. Чему равна площадь данного треугольника?

Решение:

Площадь прямоугольного треугольника вычисляется по формуле: \( S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \), где \( a \) и \( b \) — катеты.

В равнобедренном прямоугольном треугольнике катеты равны: \( a = b \).

По теореме Пифагора: \( c^2 = a^2 + b^2 \). Так как \( a = b \), то \( c^2 = a^2 + a^2 = 2a^2 \).

Выразим катет \( a \) через гипотенузу \( c \): \( a^2 = \frac{c^2}{2} \), значит, \( a = \sqrt{\frac{c^2}{2}} = \frac{c}{\sqrt{2}} \).

Теперь подставим значение катета в формулу площади:

\( S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot a = \frac{1}{2} \cdot a^2 \)

Подставляем \( a^2 = \frac{c^2}{2} \):

\( S = \frac{1}{2} \cdot \frac{c^2}{2} = \frac{c^2}{4} \).

Сравним полученный результат с предложенными вариантами:

• А) \( 2c^2 \)
• Б) \( \frac{c^2}{2} \)
• В) \( \frac{c^2}{4} \)
• Г) \( c^2 \)

Наш результат совпадает с вариантом В.

Ответ: В) $$\frac{c^2}{4}$$