н) $\frac{4x^2-27x-7}{x}\ge 0$; о) $\frac{(x-4)(x-1)^2}{x(x-3)}\ge 0$; п) $\frac{x^2-13x+30}{x^2+7x+10}\le 0$

Question

$Фото задания: н) $\frac{4x^2-27x-7}{x}\ge 0$; о) $\frac{(x-4)(x-1)^2}{x(x-3)}\ge 0$; п) $\frac{x^2-13x+30}{x^2+7x+10}\le 0$$ Фото задания

Accepted Answer

$\frac{4x^2-27x-7}{x}\ge 0$.
Разложим числитель: $4x^2-27x-7=(4x+1)(x-7)$. Критические точки: $-\frac14,0,7$. Точка $0$ исключается.
Знак выражения неотрицателен на промежутках $[-\frac14;0)$ и $[7;+\infty)$.
Ответ: $x\in[-\frac14;0)\cup[7;+\infty)$.
$\frac{(x-4)(x-1)^2}{x(x-3)}\ge 0$.
Критические точки: $0,1,3,4$. Точки $0$ и $3$ исключаются как нули знаменателя; точки $1$ и $4$ включаются.
Методом интервалов получаем:
Ответ: $x\in(-\infty;0)\cup(0;3)\cup[4;+\infty)$.
$\frac{x^2-13x+30}{x^2+7x+10}\le 0$.
Разложим на множители:
\[\frac{(x-3)(x-10)}{(x+5)(x+2)}\le 0.\]
Критические точки: $-5,-2,3,10$. Точки $-5$ и $-2$ исключаются, так как обращают знаменатель в ноль. Корни числителя включаются.
Ответ: $x\in(-5;-2)\cup[3;10]$.

н) \(\frac{4x^2-27x-7}{x}\ge 0\); о) \(\frac{(x-4)(x-1)^2}{x(x-3)}\ge 0\); п) \(\frac{x^2-13x+30}{x^2+7x+10}\le 0\)