My elder sister hasn't got __ English books on her shelf.

Решение:

В данном предложении используется отрицательная конструкция "hasn't got". Для исчисляемых существительных (books) в отрицательных предложениях используется слово "many".

1. much: используется с неисчисляемыми существительными.
2. a lot: используется как в утвердительных, так и в отрицательных предложениях, но чаще с утвердительными.
3. lots: похоже на "a lot", но "many" более предпочтительно в отрицательных предложениях с исчисляемыми существительными.
4. many: используется с исчисляемыми существительными в отрицательных и вопросительных предложениях.

Таким образом, наиболее подходящий вариант - "many".

Ответ: many