Муниципальный этап всероссийской олимпиады школьников по математике 2025-2026 учебный год 8 класс Максимальный балл - 35 1. Разрежьте прямоугольник 3 х 11 на одинадцать не обязательно одина- ковых квадратов. 2. Серёжа пришёл на работу в тот момент, когда часовая и минутная стрел- ки стали перпендикулярными в первый раз после полудня (12:00), а Саша - когда часовая и минутная стрелки стали перпендикулярными во второй раз. На сколько минут Серёжа пришёл раньше? 3. Андрей хочет проверить знания своего брата Бори по математике. Ан- дрей задумал три натуральных числа т, п, к, и вычислил наибольшие общие делители следующих пар: а =НОД(т, п), b =НОД(п, к), с =НОД(к, т). По- сле чего он выписал в тетрадь три ряда чисел: 6, 8, 12, 18, 24 14, 20, 28, 44, 56 5, 15, 18, 27, 42 Андрей сказал Боре, что одно из чисел в первом ряду равно а, одно из чисел во втором ряду равно в, одно из чисел в третьем ряду равно с, и попросил назвать загаданные им числа. Боря справился с поставленной задачей. Ка- кие числа а, в, с вычислил Андрей? Найдите все варианты и докажите, что других нет. 4. Егор очень любит геометрию и придумал новый геометрический при- бор. С помощью этого прибора можно отметить середину любого заданного отрезка. Можно ли с помощью этого прибора и линейки разделить данный отрезок на три равные части? Напомним, что линейка не имеет измеритель- ных отметок, с её помощью можно только проводить прямые линии, ничего отмерить ею нельзя. 5. Король и Шут играют в следущую игру. У них есть клетчатая доска раз- мером 1515 × 3131. Они ходят по очереди, Король своим ходом размещает на доске квадрат 1 х 1 по линиям сетки, а Шут половинку такого квадрата (то есть треугольник который получается при его разрезании по диагонали). При этом фигуры нужно располагать по правилам морского боя: они не должны соприкасаться даже углами. Проигрывает тот, кто не сможет сделать очеред- ной ход. Первым начинает Король. Кто выиграет при правильной игре?

Question

Вопрос:

Муниципальный этап всероссийской олимпиады школьников по математике 2025-2026 учебный год 8 класс Максимальный балл - 35 1. Разрежьте прямоугольник 3 х 11 на одинадцать не обязательно одина- ковых квадратов. 2. Серёжа пришёл на работу в тот момент, когда часовая и минутная стрел- ки стали перпендикулярными в первый раз после полудня (12:00), а Саша - когда часовая и минутная стрелки стали перпендикулярными во второй раз. На сколько минут Серёжа пришёл раньше? 3. Андрей хочет проверить знания своего брата Бори по математике. Ан- дрей задумал три натуральных числа т, п, к, и вычислил наибольшие общие делители следующих пар: а =НОД(т, п), b =НОД(п, к), с =НОД(к, т). По- сле чего он выписал в тетрадь три ряда чисел: 6, 8, 12, 18, 24 14, 20, 28, 44, 56 5, 15, 18, 27, 42 Андрей сказал Боре, что одно из чисел в первом ряду равно а, одно из чисел во втором ряду равно в, одно из чисел в третьем ряду равно с, и попросил назвать загаданные им числа. Боря справился с поставленной задачей. Ка- кие числа а, в, с вычислил Андрей? Найдите все варианты и докажите, что других нет. 4. Егор очень любит геометрию и придумал новый геометрический при- бор. С помощью этого прибора можно отметить середину любого заданного отрезка. Можно ли с помощью этого прибора и линейки разделить данный отрезок на три равные части? Напомним, что линейка не имеет измеритель- ных отметок, с её помощью можно только проводить прямые линии, ничего отмерить ею нельзя. 5. Король и Шут играют в следущую игру. У них есть клетчатая доска раз- мером 1515 × 3131. Они ходят по очереди, Король своим ходом размещает на доске квадрат 1 х 1 по линиям сетки, а Шут половинку такого квадрата (то есть треугольник который получается при его разрезании по диагонали). При этом фигуры нужно располагать по правилам морского боя: они не должны соприкасаться даже углами. Проигрывает тот, кто не сможет сделать очеред- ной ход. Первым начинает Король. Кто выиграет при правильной игре?

Ответ:

Accepted Answer

К сожалению, я не могу предоставить решения для всех задач, так как для некоторых задач требуются дополнительные знания и навыки. Но я могу помочь с некоторыми из них: 1. Разрезание прямоугольника:

Разрезать прямоугольник 3x11 на 11 не обязательно одинаковых квадратов можно следующим образом: один квадрат 3x3 и десять квадратов 1x1.

2. Время прихода Серёжи и Саши:

Часовая и минутная стрелки становятся перпендикулярными примерно каждые 33 минуты. После 12:00 это происходит приблизительно в 12:33, затем в 1:05 и так далее.

3. Числа Андрея и Бори:

Для решения этой задачи нужно перебрать все возможные варианты чисел из трех рядов и проверить, чтобы НОД(m, n) = a, НОД(n, k) = b, НОД(k, m) = c.

4. Геометрический прибор Егора:

Да, можно. Сначала с помощью прибора находим середину отрезка. Затем, используя линейку, проводим прямую через эту середину. Далее, с помощью прибора, находим середины получившихся половинок отрезка. Таким образом, отрезок будет разделен на три равные части.

5. Игра Короля и Шута:

В данной игре выиграет Король, так как он ходит первым. Это можно доказать с помощью комбинаторного анализа и стратегии занятия центральных позиций на доске.