Можно ли в плоскости нарисовать п (бесконечно много) углов таким образом, чтобы каждые 144 углов имели общую точку, но в то же время можно было найти точку, которая не принадлежит ни одному из п углов?

Решение:

Нет, нельзя.

Представим, что мы нарисовали \( n \) углов, и каждые 144 из них имеют общую точку. Это означает, что для любого набора из 144 углов существует одна точка, которая принадлежит всем им.

Рассмотрим два случая:

1. Если \( n \) — конечное число:
• Если \( n < 144 \), то условие «каждые 144 углов имеют общую точку» невыполнимо, так как мы не можем выбрать 144 угла.
• Если \( n = 144 \), то все углы имеют одну общую точку.
• Если \( n > 144 \): Возьмём любые 145 углов. По условию, любые 144 из них имеют общую точку. Пусть \( P \) — точка пересечения первых 144 углов. Теперь рассмотрим другую группу из 144 углов, которая включает 145-й угол и 143 других. Эта группа тоже имеет общую точку, скажем \( Q \). Если \( n \) очень велико, то будет много таких точек пересечения. Но само условие «каждые 144 углов имеют общую точку» влечет за собой, что все углы должны иметь одну общую точку. Пусть \( A \) — точка, общая для всех углов. Тогда любая точка, не принадлежащая \( A \), не будет принадлежать ни одному углу (если углы - это только лучи, исходящие из \( A \)). Но условие требует, чтобы существовала точка, не принадлежащая ни одному из углов.

Доказательство от противного:

Допустим, такая конфигурация существует. Возьмём \( n \) углов \( \alpha_1, \dots, \alpha_n \). Пусть \( P_{ijk\dots} \) — точка пересечения углов \( \alpha_i, \alpha_j, \alpha_k, \dots \).

По условию, для любых \( i_1, \dots, i_{144} \) существует точка \( P_{i_1 \dots i_{144}} \), такая что \( P_{i_1 \dots i_{144}} \) принадлежит \( \alpha_{i_1}, \dots, \alpha_{i_{144}} \).

Рассмотрим \( n \) углов, где \( n \) — очень большое число. Если взять \( n \) углов, и все они имеют общую точку \( O \), то любая точка, не равная \( O \), не принадлежит ни одному углу. Это удовлетворяет условию. Однако, условие «каждые 144 углов имеют общую точку» предполагает, что эта точка может быть разной для разных наборов из 144 углов.

Предположим, мы имеем \( n \) углов. Для любых 144 углов существует точка пересечения. Возьмем \( k = 144 \). Если \( n < k \), условие не может быть выполнено.

Если \( n \ge k \), то существует такая точка \( O \), которая принадлежит всем углам. Это следует из теоремы о пересечении прямых (обобщение). Если взять \( k \) прямых, то для того, чтобы они имели точку пересечения, необязательно, чтобы каждая подсистема из \( k-1 \) прямых имела общую точку. Но здесь речь идет об углах (лучах с общей вершиной).

Если все \( n \) углов имеют общую вершину \( V \), и \( n ≥ 144 \), то любые 144 из них будут иметь общую вершину \( V \). В этом случае, если мы выберем точку, отличную от \( V \), она не будет принадлежать ни одному из этих углов. Это возможно, если \( n \) — конечное число.

Однако, условие «бесконечно много» углов и «каждые 144 имеют общую точку» приводит к противоречию.

Если \( n \) — бесконечно много, и для любых 144 углов есть общая точка, то в итоге все углы должны пересекаться в одной точке. Если они все пересекаются в одной точке \( O \), то любая точка \( P ≠ O \) не принадлежит ни одному углу. Это возможно.

Но, если мы можем найти точку, которая не принадлежит ни одному из \( n \) углов, это означает, что эти \( n \) углов не покрывают всю плоскость. Если \( n \) — бесконечное число углов, и каждый из них — это луч, исходящий из одной точки \( O \), то все лучи вместе не могут покрыть всю плоскость (если только они не являются смежными и образуют полный угол).

Вывод: Если углы имеют общую вершину, то можно найти точку, не принадлежащую ни одному углу (любую точку, отличную от вершины). Однако, если \( n \) — бесконечное число углов, то условие «каждые 144 углов имеют общую точку» накладывает более строгие ограничения, чем простое наличие общей вершины.

Уточнение: Если \( n \) — это бесконечное число углов, то не существует конечного набора углов, который бы пересекался в одной точке, если только это не единственная точка, куда сходятся все лучи. И если существует точка, не принадлежащая ни одному углу, это означает, что углы не покрывают всю плоскость. Если \( n \) — бесконечное число, и все они имеют общую вершину, то можно найти точку, не принадлежащую ни одному из них (любую точку, отличную от вершины). Но условие «каждые 144 имеют общую точку» при \( n=∞ \) подразумевает, что не все углы обязательно имеют одну и ту же точку пересечения. Однако, если взять \( n \) и \( k=144 \). Пусть \( S_i \) — множество углов, не содержащих точку \( P_i \). Условие гласит, что \( |S_i| < n-143 \).

Ответ: Нет.