Можно ли в четырёхугольник вписать окружность при заданных условиях? Выберите верные утверждения.

Решение:

Четырёхугольник можно вписать в окружность тогда и только тогда, когда сумма противоположных углов равна 180 градусов (\( \alpha + \gamma = 180^{\circ} \) и \( \beta + \delta = 180^{\circ} \)). Для четырёхугольника, у которого есть вписанная окружность, выполняется теорема Пито: сумма длин противоположных сторон равна, то есть \( a + c = b + d \).

Рассмотрим предложенные варианты:

• 1. AB = 1.5, BC = 8.3, CD = 9, AD = 2.2
  Сумма противоположных сторон: \( AB + CD = 1.5 + 9 = 10.5 \)
  \( BC + AD = 8.3 + 2.2 = 10.5 \>
  Условие теоремы Пито выполняется.
• 2. AB = 51, BC = 8, CD = 10, AD = 51
  Сумма противоположных сторон: \( AB + CD = 51 + 10 = 61 \)
  \( BC + AD = 8 + 51 = 59 \>
  Условие теоремы Пито НЕ выполняется.
• 3. AB = 5, BC = 8, CD = 12, AD = 9
  Сумма противоположных сторон: \( AB + CD = 5 + 12 = 17 \)
  \( BC + AD = 8 + 9 = 17 \>
  Условие теоремы Пито выполняется.
• 4. AB = 30, BC = 45, CD = 12, AD = 27
  Сумма противоположных сторон: \( AB + CD = 30 + 12 = 42 \)
  \( BC + AD = 45 + 27 = 72 \>
  Условие теоремы Пито НЕ выполняется.

Ответ: AB=1,5, BC = 8,3, CD = 9, AD = 2, 2. и AB=5, BC = 8, CD = 12, AD = 9.