Можно ли описать окружность около четырёхугольника, углы которого по порядку относятся как ...?

Решение:

Окружность можно описать около четырёхугольника тогда и только тогда, когда сумма противоположных углов равна 180 градусов (\( \pi \) радиан).

1. Углы относятся как 2:4:5:3.

1. Пусть углы равны \( 2x, 4x, 5x, 3x \).
2. Сумма углов четырёхугольника равна 360 градусов: \( 2x + 4x + 5x + 3x = 14x \).
3. \( 14x = 360^\circ \), следовательно, \( x = \frac{360}{14} = \frac{180}{7} \).
4. Углы равны: \( 2x = \frac{360}{7} \approx 51.4^\circ \), \( 4x = \frac{720}{7} \approx 102.8^\circ \), \( 5x = \frac{900}{7} \approx 128.6^\circ \), \( 3x = \frac{540}{7} \approx 77.1^\circ \).
5. Проверим сумму противоположных углов: \( 2x + 5x = 7x = \frac{1260}{7} = 180^\circ \).
6. \( 4x + 3x = 7x = \frac{1260}{7} = 180^\circ \).
7. Так как суммы противоположных углов равны 180 градусам, окружность можно описать.

2. Углы относятся как 5:7:8:9.

1. Пусть углы равны \( 5x, 7x, 8x, 9x \).
2. Сумма углов четырёхугольника равна 360 градусов: \( 5x + 7x + 8x + 9x = 29x \).
3. \( 29x = 360^\circ \), следовательно, \( x = \frac{360}{29} \).
4. Проверим сумму противоположных углов: \( 5x + 8x = 13x = 13 \cdot \frac{360}{29} = \frac{4680}{29} \neq 180^\circ \).
5. \( 7x + 9x = 16x = 16 \cdot \frac{360}{29} = \frac{5760}{29} \neq 180^\circ \).
6. Так как суммы противоположных углов не равны 180 градусам, окружность описать нельзя.

Ответ: для отношений 2:4:5:3 — да, для отношений 5:7:8:9 — нет.