Можно ли описать окружность около четырёхугольника, углы которого по часовой стрелке относятся как: a) 1:4:7:3; б) 6:7:8:9?

Для того чтобы вокруг четырехугольника можно было описать окружность, необходимо и достаточно, чтобы суммы его противоположных углов были равны 180 градусам. Сначала проверим вариант a) 1:4:7:3. Пусть углы четырехугольника равны $$x, 4x, 7x, 3x$$. Сумма углов четырехугольника равна 360 градусам, поэтому $$x + 4x + 7x + 3x = 360$$ $$15x = 360$$ $$x = \frac{360}{15} = 24$$ Тогда углы равны: $$x = 24^{\circ}$$ $$4x = 96^{\circ}$$ $$7x = 168^{\circ}$$ $$3x = 72^{\circ}$$ Проверим суммы противоположных углов: $$24^{\circ} + 168^{\circ} = 192^{\circ}
eq 180^{\circ}$$ $$96^{\circ} + 72^{\circ} = 168^{\circ}
eq 180^{\circ}$$ Следовательно, вокруг четырехугольника с углами, относящимися как 1:4:7:3, нельзя описать окружность. Теперь проверим вариант б) 6:7:8:9. Пусть углы четырехугольника равны $$6x, 7x, 8x, 9x$$. Сумма углов четырехугольника равна 360 градусам, поэтому $$6x + 7x + 8x + 9x = 360$$ $$30x = 360$$ $$x = \frac{360}{30} = 12$$ Тогда углы равны: $$6x = 72^{\circ}$$ $$7x = 84^{\circ}$$ $$8x = 96^{\circ}$$ $$9x = 108^{\circ}$$ Проверим суммы противоположных углов: $$72^{\circ} + 96^{\circ} = 168^{\circ}
eq 180^{\circ}$$ $$84^{\circ} + 108^{\circ} = 192^{\circ}
eq 180^{\circ}$$ Следовательно, вокруг четырехугольника с углами, относящимися как 6:7:8:9, нельзя описать окружность. Ответ: ни для одного из вариантов нельзя описать окружность.