Можно ли обойти все рёбра октаэдра, пройдя по каждому ребру ровно один раз?

Нет, это невозможно, так как у октаэдра все вершины имеют чётную степень, а для обхода графа по каждому ребру ровно один раз необходимо, чтобы либо две вершины имели нечётную степень, либо все вершины были чётными и путь был замкнутым.