Моторная лодка прошла 65 км по течению реки, затратив на весь путь 6 ч. Найдите скорость лодки в стоячей воде и скорость течения, если известно, что, двигаясь 5 ч по течению реки, она проходит тот же путь, что за 7 ч. Против течения.

Решение:

Пусть \( v_л \) — скорость лодки в стоячей воде (км/ч), а \( v_т \) — скорость течения (км/ч).

Скорость лодки по течению: \( v_{по} = v_л + v_т \) (км/ч).

Скорость лодки против течения: \( v_{против} = v_л - v_т \) (км/ч).

1. Первое условие: лодка прошла 65 км по течению за 6 часов.
2. Составим уравнение: \( (v_л + v_т) \cdot 6 = 65 \)
3. Выразим \( v_л + v_т \): \( v_л + v_т = \frac{65}{6} \)
4. Второе условие: лодка за 5 часов по течению проходит то же расстояние, что за 7 часов против течения.
5. Расстояние по течению за 5 часов: \( (v_л + v_т) \cdot 5 \)
6. Расстояние против течения за 7 часов: \( (v_л - v_т) \cdot 7 \)
7. Составим уравнение: \( (v_л + v_т) \cdot 5 = (v_л - v_т) \cdot 7 \)
8. Подставим значение \( v_л + v_т = \frac{65}{6} \) из первого условия во второе уравнение:
9. \( \frac{65}{6} \cdot 5 = (v_л - v_т) \cdot 7 \)
10. \( \frac{325}{6} = 7(v_л - v_т) \)
11. Выразим \( v_л - v_т \): \( v_л - v_т = \frac{325}{6 \cdot 7} = \frac{325}{42} \)
12. Теперь у нас есть система из двух уравнений:

\( \begin{cases} v_л + v_т = \frac{65}{6} \\ v_л - v_т = \frac{325}{42} \end{cases} \)

1. Сложим уравнения, чтобы найти \( v_л \):
2. \( (v_л + v_т) + (v_л - v_т) = \frac{65}{6} + \frac{325}{42} \)
3. \( 2v_л = \frac{65 \cdot 7}{42} + \frac{325}{42} \)
4. \( 2v_л = \frac{455 + 325}{42} = \frac{780}{42} \)
5. \( v_л = \frac{780}{42 \cdot 2} = \frac{780}{84} \)
6. Сократим дробь: \( v_л = \frac{195}{21} = \frac{65}{7} \) км/ч.
7. Теперь найдем \( v_т \), вычитая второе уравнение из первого:
8. \( (v_л + v_т) - (v_л - v_т) = \frac{65}{6} - \frac{325}{42} \)
9. \( 2v_т = \frac{65 \cdot 7}{42} - \frac{325}{42} \)
10. \( 2v_т = \frac{455 - 325}{42} = \frac{130}{42} \)
11. \( v_т = \frac{130}{42 \cdot 2} = \frac{130}{84} \)
12. Сократим дробь: \( v_т = \frac{65}{42} \) км/ч.

Ответ: Скорость лодки в стоячей воде равна \( \frac{65}{7} \) км/ч, скорость течения равна \( \frac{65}{42} \) км/ч.