Монету подбрасывают 1000 раз. На основе этих данных, оцените снизу вероятность отклонения частоты появления герба от вероятности его появления меньше чем на 0.1. Приведите шаги для вычислений.

Предмет: Математика

Класс: 11

Пошаговое решение:

1. Определение параметров:
• Общее число испытаний (подбрасываний монеты): $$n = 1000$$.
• Вероятность выпадения герба (примем, что монета "честная", то есть $$P(герб) = 0.5$$).
• Вероятность выпадения решки: $$P(решка) = 1 - P(герб) = 0.5$$.
• Допустимое отклонение: $$\epsilon = 0.1$$.
2. Формулировка задачи:
• Пусть $$X$$ - случайная величина, равная числу выпадений герба в 1000 испытаниях.
• Математическое ожидание (среднее число гербов): $$E(X) = n \cdot P(герб) = 1000 \cdot 0.5 = 500$$.
• Дисперсия (мера разброса): $$D(X) = n \cdot P(герб) \cdot P(решка) = 1000 \cdot 0.5 \cdot 0.5 = 250$$.
• Среднеквадратичное отклонение (стандартное отклонение): $$\sigma = \sqrt{D(X)} = \sqrt{250} \approx 15.81$$.
• Частота появления герба: $$\hat{p} = X/n$$.
• Вероятность отклонения частоты от истинной вероятности: $$P(|\hat{p} - P(герб)| > \epsilon)$$.
3. Применение неравенства Чебышева:
• Неравенство Чебышева гласит: $$P(|X - E(X)| \ge k \cdot \sigma) \le \frac{1}{k^2}$$.
• Для нашей задачи, нас интересует отклонение частоты, а не самого числа успехов.
• $$P(|\hat{p} - P(герб)| > \epsilon) = P(|\frac{X}{n} - P(герб)| > \epsilon) = P(|X - n \cdot P(герб)| > n \cdot \epsilon)$$.
• $$P(|X - E(X)| > 1000 \cdot 0.1) = P(|X - 500| > 100)$$.
• Чтобы использовать неравенство Чебышева, нам нужно выразить $$100$$ через $$\sigma$$: $$100 = k \cdot \sigma$$, следовательно $$k = \frac{100}{\sigma} = \frac{100}{15.81} \approx 6.32$$.
• Тогда, по неравенству Чебышева: $$P(|X - 500| > 100) \le \frac{1}{k^2} = \frac{1}{(6.32)^2} \approx \frac{1}{39.94} \approx 0.025$$.
• Таким образом, вероятность того, что отклонение частоты от вероятности $$0.5$$ будет больше чем $$0.1$$, оценивается сверху числом $$0.025$$.
• Задача просит оценить снизу вероятность отклонения частоты от вероятности меньше чем на 0.1.
• Это означает, что мы ищем $$P(|\hat{p} - P(герб)| \le 0.1)$$.
• Мы знаем, что $$P(|\hat{p} - P(герб)| > 0.1) \le 0.025$$.
• Следовательно, $$P(|\hat{p} - P(герб)| \le 0.1) = 1 - P(|\hat{p} - P(герб)| > 0.1) \ge 1 - 0.025 = 0.975$$.

Ответ: 0.975