Монету диаметром 2 см наудачу бросают на шахматную доску со стороной клетки 3 см. Какова вероятность того, что упавшая монета целиком поместилась в одной клетке?

Решение:

Пусть \(d\) — диаметр монеты, \(s\) — сторона клетки.

Дано:

• \(d = 2 \) см
• \(s = 3 \) см

Найти вероятность того, что монета целиком поместилась в одной клетке.

Для того чтобы монета целиком поместилась в клетке, центр монеты должен находиться на расстоянии не менее \( \frac{d}{2} \) от каждой стороны клетки.

Рассмотрим одну клетку. Площадь всей клетки составляет \( S_{клетки} = s^2 = 3^2 = 9 \) см².

Чтобы монета целиком поместилась в клетке, центр монеты должен попасть в квадрат, стороны которого отстоят от сторон клетки на \( \frac{d}{2} = \frac{2}{2} = 1 \) см. Размер этого внутреннего квадрата будет \( (s - 2 \cdot \frac{d}{2}) \times (s - 2 \cdot \frac{d}{2}) \) , то есть \( (3 - 2 · 1) \times (3 - 2 · 1) = 1 \times 1 \) см.

Площадь этого внутреннего квадрата, куда может попасть центр монеты, равна \( S_{центр} = 1^2 = 1 \) см².

Вероятность того, что центр монеты попадет в этот квадрат, равна отношению площади этого квадрата к площади всей клетки:

\[ P = \frac{S_{центр}}{S_{клетки}} = \frac{1}{9} \]

Две кляксы не соприкасаются, что означает, что мы рассматриваем каждую клетку независимо, и нет перекрытия областей.

Ответ: \( \frac{1}{9} \).