Множество решений неравенства log0,6 (3x-9)/(x+1) ≥ 0 имеет вид

Решение:

Данное неравенство является логарифмическим. Основание логарифма 0,6 меньше 1, поэтому при раскрытии логарифма знак неравенства меняется на противоположный. Кроме того, необходимо учесть область допустимых значений (ОДЗ) для логарифма: аргумент логарифма должен быть положительным, а знаменатель не должен равняться нулю.

1. ОДЗ:
   • $$ \frac{3x-9}{x+1} > 0 $$
   • $$ x+1 \neq 0 \implies x \neq -1 $$
   Для решения неравенства \( \frac{3x-9}{x+1} > 0 \) найдём корни числителя и знаменателя: \( 3x-9 = 0 \implies x = 3 \) и \( x+1 = 0 \implies x = -1 \).
2. Рассмотрим интервалы, на которые эти корни делят числовую ось: \( (-\infty; -1) \), \( (-1; 3) \) и \( (3; \infty) \).
3. Проверим знак выражения \( \frac{3x-9}{x+1} \) на каждом интервале:
   • При \( x < -1 \) (например, \( x = -2 \)): \( \frac{3(-2)-9}{-2+1} = \frac{-15}{-1} = 15 > 0 \).
   • При \( -1 < x < 3 \) (например, \( x = 0 \)): \( \frac{3(0)-9}{0+1} = \frac{-9}{1} = -9 < 0 \).
   • При \( x > 3 \) (например, \( x = 4 \)): \( \frac{3(4)-9}{4+1} = \frac{3}{5} > 0 \).
   Следовательно, \( \frac{3x-9}{x+1} > 0 \) при \( x \in (-\infty; -1) \cup (3; \infty) \).
4. Решаем само неравенство:
5. $$ \log_{0,6} \frac{3x-9}{x+1} \ge 0 $$
6. Так как основание логарифма \( 0,6 < 1 \), то:
7. $$ \frac{3x-9}{x+1} \le (0,6)^0 $$
8. $$ \frac{3x-9}{x+1} \le 1 $$
9. $$ \frac{3x-9}{x+1} - 1 \le 0 $$
10. $$ \frac{3x-9 - (x+1)}{x+1} \le 0 $$
11. $$ \frac{3x-9 - x - 1}{x+1} \le 0 $$
12. $$ \frac{2x-10}{x+1} \le 0 $$
13. Решим полученное неравенство методом интервалов. Корни числителя и знаменателя: \( 2x-10 = 0 \implies x = 5 \) и \( x+1 = 0 \implies x = -1 \).
14. Рассмотрим интервалы: \( (-\infty; -1) \), \( (-1; 5) \) и \( (5; \infty) \).
15. Проверим знак выражения \( \frac{2x-10}{x+1} \) на каждом интервале:
    • При \( x < -1 \) (например, \( x = -2 \)): \( \frac{2(-2)-10}{-2+1} = \frac{-14}{-1} = 14 > 0 \).
    • При \( -1 < x < 5 \) (например, \( x = 0 \)): \( \frac{2(0)-10}{0+1} = \frac{-10}{1} = -10 < 0 \).
    • При \( x > 5 \) (например, \( x = 6 \)): \( \frac{2(6)-10}{6+1} = \frac{2}{7} > 0 \).
    Неравенство \( \frac{2x-10}{x+1} \le 0 \) выполняется при \( x \in (-1; 5] \).
16. Совместим полученные решения с ОДЗ:
17. Нам нужно пересечение множества \( x \in (-\infty; -1) \cup (3; \infty) \) (из ОДЗ) и множества \( x \in (-1; 5] \) (решение неравенства).
18. Пересечение этих множеств: \( (3; \infty) \cap (-1; 5] = (3; 5] \).

Ответ: (3; 5].