MNKP – трапеция MP = NK, SмNкр – ?

Дано:

• MNKP - трапеция
• MP = NK
• Окружность вписана в трапецию MNKP
• ∠M = 45°
• OK = 5 (радиус вписанной окружности)

Найти:

• S_MNKP - ?

Решение:

1. Рассмотрим \(\triangle\) MQT: MQ = QT = OK + OT = 2 * OK = 2 * 5 = 10.
2. MT = MQ = 10, т.к. углы при основании равны (45°).
3. Т.к. в трапецию вписана окружность, то MN + KP = MP + NK = 2 * MP.
4. Проведем высоту PH. Рассмотрим прямоугольный \(\triangle\) MPH: MT = NH = 10.
5. Тогда MN = MT + TN = 10 + TN. KP = NH - KH = 10 - KH. MP = NK (по условию)
6. Подставим в уравнение 3 пункт: 10 + TN + 10 - KH = 2 * MP, т.к. TN = KH, то 20 = 2 * MP, MP = 10.
7. Тогда MN + KP = 2 * MP = 2 * 10 = 20.
8. Тогда S_MNKP = \(\frac{MN + KP}{2}\) * QT = \(\frac{20}{2}\) * 10 = 10 * 10 = 100.

Ответ: S_MNKP = 100