Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
Математика
Ответ:
Решение:
Дано:
Треугольник MNK — равнобедренный с основанием NM.
Периметр треугольника MNK \(P_{MNK} = 56\) см.
KR — биссектриса.
Периметр треугольника KRN \(P_{KRN} = 490\) мм.
Найти:
Длину биссектрисы KR.
Переведём периметр треугольника KRN в сантиметры:
\(490\) мм = \(49\) см.
Обозначим стороны треугольника:
Пусть боковые стороны равнобедренного треугольника MNK равны \(x\) см, то есть \(MK = KN = x\).
Основание \(NM = 56\) см.
Периметр \(P_{MNK} = 2x + 56\).
По условию \(2x + 56 = 56\), откуда \(2x = 0\), что невозможно для треугольника.
Перепроверим условие задачи. Возможно, основанием является одна из боковых сторон.
Случай 1: Основание MN = 56 см.
Боковые стороны MK = KN = \(x\).
Периметр \(P_{MNK} = 2x + 56 = 56\) см. Это невозможно, так как \(2x=0\).
Случай 2: Основание KN = 56 см.
Тогда боковые стороны MN = MK = \(x\).
Периметр \(P_{MNK} = 2x + 56 = 56\) см. Это также невозможно.
Предположим, что \(P_{MNK} = 56\) см — это сумма длин боковых сторон, а основание NM — неизвестно.
Пусть \(MK = KN = x\) и \(NM = y\).
\(2x = 56\) см, значит \(x = 28\) см.
KR — биссектриса, проведенная из вершины K к основанию NM. В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является также медианой и высотой. Значит, R — середина NM, и \(NR = RM = y/2\).
Периметр треугольника KRN = \(KN + NR + KR\).
\(P_{KRN} = x + y/2 + KR = 28 + y/2 + KR = 49\) см.
Вернемся к исходной трактовке: основание NM = 56 см.
Возможно, периметр MNK = 56 см, а основание — это одна из равных сторон.
Случай 3: Основание MK = 56 см.
Тогда MN = KN = \(x\).
Периметр \(P_{MNK} = x + x + 56 = 56\) см. Это невозможно, так как \(2x = 0\).
Рассмотрим случай, когда P_{MNK} = 56 см, а основанием является NM.
Пусть \(MK = KN = x\) см. Тогда \(NM = 56 - 2x\) см.
KR — биссектриса. В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, делит его пополам. Значит, \(NR = RM = (56 - 2x)/2 = 28 - x\) см.
Периметр треугольника KRN = \(KN + NR + KR\).
\(P_{KRN} = x + (28 - x) + KR = 49\) см.
\(28 + KR = 49\) см.
\(KR = 49 - 28 = 21\) см.
Проверим, существует ли такой треугольник.
Для существования треугольника MNK должны выполняться неравенства:
\(MK + KN > NM \rightarrow x + x > 56 - 2x \rightarrow 2x > 56 - 2x \rightarrow 4x > 56 \rightarrow x > 14\)
\(MK + NM > KN \rightarrow x + (56 - 2x) > x \rightarrow 56 - x > x \rightarrow 56 > 2x \rightarrow x < 28\)
Значит, \(14 < x < 28\). Если \(x = 21\) (например), то \(NM = 56 - 2*21 = 56 - 42 = 14\) см. Это возможно.
Ответ: 21
