Мише каждый день дают 180 рублей на карманные расходы. В первый день он потратил 20 рублей, во второй хочет потратить 40 рублей, в третий 60 рублей и так далее: каждый следующий день он тратит на 20 рублей больше, чем в предыдущий. На какой по счёту день Мише не хватит денег на задуманную покупку? Неизрасходованные за день деньги остаются у Миши, изначально денег у него не было.

Определим, сколько Миша тратит каждый день, начиная с первого:

1. 1 день: 20 рублей
2. 2 день: 40 рублей
3. 3 день: 60 рублей
4. 4 день: 80 рублей
5. 5 день: 100 рублей
6. 6 день: 120 рублей
7. 7 день: 140 рублей
8. 8 день: 160 рублей
9. 9 день: 180 рублей
10. 10 день: 200 рублей

Найдём, сколько денег у Миши останется после каждого дня, учитывая, что ему дают 180 рублей ежедневно:

1. 1 день: 180 - 20 = 160 рублей
2. 2 день: 160 + 180 - 40 = 300 рублей
3. 3 день: 300 + 180 - 60 = 420 рублей
4. 4 день: 420 + 180 - 80 = 520 рублей
5. 5 день: 520 + 180 - 100 = 600 рублей
6. 6 день: 600 + 180 - 120 = 660 рублей
7. 7 день: 660 + 180 - 140 = 700 рублей
8. 8 день: 700 + 180 - 160 = 720 рублей
9. 9 день: 720 + 180 - 180 = 720 рублей

На 10-й день Миша захочет потратить 200 рублей, но ему дадут только 180 рублей, и у него останется 720. Таким образом, ему не хватит денег, начиная с 10 дня, чтобы совершить задуманную покупку.

Ответ: На 10-й день.