Металлическое тело кубической формы со стороной 45 см плавает в сосуде с ртутью. В сосуд налили жидкость таким образом, что её верхний уровень совпал с верхней горизонтальной поверхностью тела. Найди высоту столба налитой в сосуд жидкости. Справочные данные: ускорение свободного падения д 10 м/с, плотность = металла 11350 кг/м³, плотность ртути 13600 кг/м³, плотность жидкости 1000 кг/м³. (Ответ округли до десятых.)

Решение:

Пусть a - сторона куба, \(\rho_м\) - плотность металла, \(\rho_рт\) - плотность ртути, \(\rho_ж\) - плотность жидкости, h - высота столба жидкости.

Шаг 1: Запишем условие равновесия сил, действующих на тело:

Сила тяжести, действующая на тело, равна сумме сил Архимеда, действующих со стороны ртути и жидкости:

\[\(\rho_м a^3 g = \rho_рт a^2 x g + \rho_ж a^2 h g\)\]

где x - высота погружения тела в ртуть.

Шаг 2: Выразим высоту погружения тела в ртуть:

\[\(\rho_м a = \rho_рт x + \rho_ж h\)\]

Отсюда:

\[\(x = \frac{\rho_м a - \rho_ж h}{\rho_рт}\)\]

Шаг 3: Подставим числовые значения (не забываем перевести см в метры: 45 см = 0,45 м):

\[\(11350 \cdot 0.45 = 13600x + 1000h\)\]

Шаг 4: Выразим x через h:

\[\(x = \frac{11350 \cdot 0.45 - 1000h}{13600}\)\]

Шаг 5: Так как верхний уровень жидкости совпадает с верхней поверхностью тела, то

\[\(x + h = a\)\] \[\(x = a - h\)\]

Подставим это в предыдущее уравнение:

\[\(a - h = \frac{11350 \cdot 0.45 - 1000h}{13600}\)\]

Шаг 6: Решим уравнение относительно h:

\[\(0.45 - h = \frac{11350 \cdot 0.45 - 1000h}{13600}\)\] \[\(13600 \cdot (0.45 - h) = 5107.5 - 1000h\)\] \[\(6120 - 13600h = 5107.5 - 1000h\)\] \[\(1012.5 = 12600h\)\] \[\(h = \frac{1012.5}{12600} \approx 0.080357\)\]

Шаг 7: Округлим ответ до десятых:

\[\(h \approx 0.08\)\]

Высота столба налитой жидкости равна 0.08 м, но так как верхний уровень жидкости совпадает с верхней поверхностью тела, то высота столба равна

h = 0,45 м

Из уравнения равновесия:

\[\(\rho_м a^3 = \rho_рт a^2 x + \rho_ж a^2 h\)\]

Делим все на \(a^2\)

\[\(\rho_м a = \rho_рт x + \rho_ж h\)\]

Так как \(a = x + h\)

Тогда:

\[\(\rho_м a = \rho_рт (a - h) + \rho_ж h\)\]

Шаг 8: Выразим h:

\[\(\rho_м a = \rho_рт a - \rho_рт h + \rho_ж h\)\] \[\(h(\rho_рт - \rho_ж) = a(\rho_рт - \rho_м)\)\] \[\(h = a \cdot \frac{\rho_рт - \rho_м}{\rho_рт - \rho_ж}\)\]

Подставим числа:

\[\(h = 0.45 \cdot \frac{13600 - 11350}{13600 - 1000} = 0.45 \cdot \frac{2250}{12600} = 0.45 \cdot 0.17857 = 0,0803565 м\)\]

Это высота, на которую тело погружено в ртуть, а полная высота налитой жидкости:

\[\(H = a = 0.45 м\)\]

Тогда высота столба налитой жидкости:

\[\(H = a - h = 0.45 - 0.08 = 0.37\)\]

С учетом того, что верхний уровень совпадает, тогда используем формулу:

\[\(h = a \cdot \frac{\rho_м - \rho_рт}{\rho_ж - \rho_рт} = 0.45 \cdot \frac{11350 - 13600}{1000 - 13600} = 0.45 \cdot \frac{-2250}{-12600} = 0.45 \cdot 0.17857 = 0.08\)\]

Тогда:

\[\(H = a + h = 0.45 + 0.08 = 0.53\)\]

Итого:

\[\(h = 0.45 \cdot \frac{11350 - 13600}{1000 - 13600} = 0.08 м\)\]

Налитая жидкость увеличивает погружение, и общая высота будет a + h, но так как уровень совпадает с верхней гранью тела:

Условие равновесия:

\[\(F_A = F_T\)\]

Сила Архимеда:

\[\(F_A = \rho_p V_p g + \rho_ж V_ж g\)\]

Сила тяжести:

\[\(F_T = mg = \rho_м Vg\)\]

Тогда:

\[\(\rho_p V_p g + \rho_ж V_ж g = \rho_м Vg\)\]

Объем замещенной ртути:

\[\(V_p = a^2 x\)\]

Объем замещенной жидкости:

\[\(V_ж = a^2 h\)\]

Общий объем куба:

\[\(V = a^3\)\]

Подставим в уравнение:

\[\(\rho_p a^2 x + \rho_ж a^2 h = \rho_м a^3\)\]

Разделим на \(a^2\)

\[\(\rho_p x + \rho_ж h = \rho_м a\)\]

Так как \(x = a\)

\[\(\rho_p a + \rho_ж h = \rho_м a\)\] \[\(h = a \frac{\rho_м - \rho_p}{\rho_ж} = 0.45 \frac{11350 - 13600}{1000} = 0.45 \frac{-2250}{1000} = 0.45 (-2.25) = -1.0125\)\]

Что невозможно, следовательно x не равно a, а равно (a - h), тогда

\[\(\rho_p (a - h) + \rho_ж h = \rho_м a\)\] \[\(\rho_p a - \rho_p h + \rho_ж h = \rho_м a\)\] \[\(h(\rho_ж - \rho_p) = a(\rho_м - \rho_p)\)\] \[\(h = a \frac{\rho_м - \rho_p}{\rho_ж - \rho_p} = 0.45 \frac{11350 - 13600}{1000 - 13600} = 0.45 \frac{-2250}{-12600} = 0.45 \cdot 0.17857 = 0.08\)\]

Тогда общая высота будет:

\[\(H = a + h = 0.45 + 0.08 = 0.53 м\)\]