Контрольные задания > Медианы АК и СМ треугольника АВС пересекаются в точке О. Найдите площадь треугольника АВС, если площадь треугольника АМО равна 4.
Вопрос:

Медианы АК и СМ треугольника АВС пересекаются в точке О. Найдите площадь треугольника АВС, если площадь треугольника АМО равна 4.

Смотреть решения всех заданий с листа

Ответ:

Для решения этой задачи нам понадобятся знания о свойствах медиан треугольника и о соотношении площадей подобных фигур.


  1. Медианы треугольника делят его на шесть равновеликих треугольников (то есть треугольников с равной площадью). Точка пересечения медиан (центроид) делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.

  2. Рассмотрим треугольник ABC, в котором медианы AK и CM пересекаются в точке O. Площадь треугольника AMO дана и равна 4.

  3. Так как медианы делятся в отношении 2:1, то AO = 2 * OK и CO = 2 * OM.

  4. Треугольники AMO и CKO подобны с коэффициентом подобия 2, так как углы при вершине O у них равны (вертикальные углы), а стороны, образующие эти углы, пропорциональны.

  5. Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия. Значит, площадь треугольника CKO в 4 раза больше площади треугольника AMO. Площадь CKO = 4 * 4 = 16.

  6. Треугольники AMO и CMO имеют общую высоту, проведенную из вершины M. Так как AO = 2 * OK, то площадь треугольника CMO в два раза больше площади треугольника AMO. Площадь CMO = 2 * 4 = 8.

  7. Теперь мы знаем площади трех треугольников: AMO, CKO и CMO. Площадь четырехугольника AMCK равна сумме площадей этих треугольников: 4 + 16 + 8 = 28.

  8. Медиана делит треугольник на два треугольника равной площади. Так как медиана AK делит треугольник ABC, то площадь треугольника ACK равна половине площади треугольника ABC. Площадь AMCK составляет 3/6 площади ABC. Тогда площадь треугольника ABC равна 2 * площадь ACK.

  9. Площадь треугольника ACK в свою очередь составляет (4+8+16) = 28.

  10. Площадь ABC = 2 * 28 = 56 - неверно. Другое решение:
    Медианы треугольника делят его на 6 равновеликих треугольников. Значит, чтобы найти площадь треугольника ABC, нужно площадь одного из этих шести треугольников умножить на 6.
    Площадь треугольника AMO составляет 1/6 площади треугольника AOC, где O - точка пересечения медиан. Но нам дана площадь AMO, равная 4. Значит, площадь AOM это 1/12 от площади ABC. Площадь ABC = 12*4 = 48.


Ответ: 24
ГДЗ по фото 📸