Медиана треугольника совпадает с его высотой. Докажите, что треугольник равнобедренный.

Решение:

Дано: \( \Delta BCD \), \( CM \) — медиана и высота.

Доказать: \( \Delta BCD \) — равнобедренный.

Доказательство:

1. Отрезок \( CM \) — медиана треугольника \( BCD \), следовательно, \( BM = MD \) (по определению медианы).
2. Так как отрезок \( CM \) — высота, то \( CM \perp BD \) (по определению высоты), значит, \( \angle CMB = \angle CMD = 90^{\circ} \).
3. Рассмотрим треугольники \( BCM \) и \( DCM \).
4. У них \( BM = DM \) (по доказанному), \( \angle CMB = \angle CMD = 90^{\circ} \), а сторона \( CM \) — общая.
5. Следовательно, по первому признаку равенства треугольников, \( \Delta BCM = \Delta DCM \).
6. Из равенства треугольников следует, что \( BC = DC \), поэтому \( \Delta BCD \) — равнобедренный, что и требовалось доказать.

Ответ: Треугольник равнобедренный.