4. MC ⊥ ABC, MC = 2, ∠ACB = 90°. AC = 6, BC = 8. Найдите d (M, AB).

Для решения задачи необходимо найти расстояние от точки M до прямой AB. Поскольку MC перпендикулярна плоскости ABC, то MC перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости.

1. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC (угол ACB = 90°). AC = 6, BC = 8. По теореме Пифагора найдем AB:

$$AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$$

2. Пусть K – середина AB. Тогда CK – медиана прямоугольного треугольника ABC, проведенная к гипотенузе. Следовательно, CK = AB/2 = 10/2 = 5.

3. Так как MC перпендикулярна плоскости ABC, то MC перпендикулярна CK. Рассмотрим прямоугольный треугольник MCK (угол MCK = 90°). MC = 2, CK = 5. По теореме Пифагора найдем MK:

$$MK = \sqrt{MC^2 + CK^2} = \sqrt{2^2 + 5^2} = \sqrt{4 + 25} = \sqrt{29}$$

4. Так как K – середина AB, то MK является расстоянием от точки M до прямой AB.

Ответ: $$\sqrt{29}$$