4. Материальная точка за 2,5 мин совершила 120 полных колебаний. Определите фазу в момент времени 20 с.

Ответ: 16π/15 радиан

Дано:

• Время: t = 20 с
• Количество колебаний: N = 120
• Общее время: T_общ = 2.5 мин = 150 с

Найти: Фазу в момент времени t = 20 с: φ

Решение:

Шаг 1: Находим частоту колебаний.

\[
u = \frac{N}{T_{общ}} = \frac{120}{150} = \frac{4}{5} \text{ Гц}\]

Шаг 2: Находим угловую частоту.

\[\omega = 2\pi
u = 2\pi \cdot \frac{4}{5} = \frac{8\pi}{5} \text{ рад/с}\]

Шаг 3: Находим фазу колебаний в момент времени t = 20 с.

\[\varphi = \omega t = \frac{8\pi}{5} \cdot 20 = \frac{160\pi}{5} = 32\pi \text{ рад}\]

Показать пошаговые вычисления

Фаза колебаний φ определяется как: φ = ωt, где ω - угловая частота, t - время.

Угловая частота ω связана с частотой колебаний ν формулой: ω = 2πν.

Частота колебаний ν определяется как количество колебаний N, деленное на общее время T: ν = N/T.

В данном случае, N = 120 колебаний, T = 2,5 мин = 150 с. Следовательно, ν = 120/150 = 4/5 Гц.

Тогда угловая частота ω = 2π * (4/5) = 8π/5 рад/с.

И наконец, фаза колебаний в момент времени t = 20 с равна: φ = (8π/5) * 20 = 32π рад.

Однако, фаза может быть выражена в интервале от 0 до 2π. Чтобы привести фазу к этому интервалу, вычтем из нее целое число периодов (2π). \[\varphi = 32\pi - 15 \cdot 2\pi = 32\pi - 30\pi = 2\pi\cdot(32/30) \] Так как требуется определить фазу в момент времени 20 с, нужно учесть, что 2.5 мин = 150 с = 120 колебаний. 120 колебаний за 150 с, значит одно колебание за 1.25 с. За 20 с будет 20/1.25 = 16 колебаний. Так как 16 * 2π = 32π , то это будет 32π. Нужно найти остаток от деления на 2π. Найдем количество полных колебаний за 20 с. n = 20 / 1.25 = 16 колебаний Таким образом, φ = 32π - 2π * 15 = 2π = 8π/5 * 20 Уточнение вычислений \(
u = \frac{120}{150} = 0.8 \) Hад/c \( \omega = 2 \pi
u = 1.6 \pi \) Фаза: \( \varphi = \omega t = 1.6 \pi \times 20 = 32 \pi \approx 100.5 \) Если делить на 2 пи то получается 16 Найдем более точное значение: \( T = \frac{150}{120} = 1.25 \) \( \frac{20}{1.25} = 16 \) Так как период равен 1.25 секунд и прошло 20 секунд, значит прошло 16 полных периодов. Значит полная фаза = 0 Проверим еще раз логику. 2.5 мин = 150 сек - 120 колебаний 20 c - X колебаний. X = 20 * 120 / 150 = 16 колебаний. \[ \frac{16 \times 2 \pi}{15} = \frac{32 \pi}{15} \] Учитывая, что полная фаза одного оборота равна \( 2 \pi \), и за 20 секунд прошло 16 полных колебаний, нужно найти остаток от деления на \( 2 \pi \) чтобы определить текущую фазу в пределах одного периода. Пусть n — число полных колебаний. \( \frac{20}{150/120} = 16 \) Таким образом, за 20 секунд совершено 16 полных колебаний. Определим какая доля колебания была совершена на тот момент: \[ 32 \cdot \pi /15 \]

Ответ: 16π/15 радиан