Материальная точка равномерно вращается по окружности, радиус которой R = 48 см. Если направление линейной скорости точки изменяется на противоположное через минимальный промежуток времени \( \Delta t_1 = 2,7 \) с, то модуль перемещения \( \Delta r \) точки за промежуток времени \( \Delta t_2 = 1,8 \) с равен:

Решение:

За минимальный промежуток времени \( \Delta t_1 = 2,7 \) с направление линейной скорости изменяется на противоположное. Это означает, что за это время точка проходит половину окружности.

Полный оборот точка совершает за время \( T = 2 \cdot \Delta t_1 = 2 \cdot 2,7 \text{ с} = 5,4 \text{ с} \).

Линейная скорость точки \( v = \frac{2 \pi R}{T} \).

За промежуток времени \( \Delta t_2 = 1,8 \) с, точка проходит угол \( \alpha \), который можно найти как:

\( \alpha = \frac{\Delta t_2}{T} \cdot 2 \pi = \frac{1,8 \text{ с}}{5,4 \text{ с}} \cdot 2 \pi = \frac{1}{3} \cdot 2 \pi = \frac{2 \pi}{3} \text{ радиан}} \).

Модуль перемещения \( \Delta r \) точки за этот промежуток времени равен длине хорды, стягивающей угол \( \alpha \). Формула для длины хорды:

\( \Delta r = 2R \sin{\left( \frac{\alpha}{2} \right)} \).

Подставляем значения:

\( \Delta r = 2 \cdot 48 \text{ см} \cdot \sin{\left( \frac{2 \pi / 3}{2} \right)} = 96 \text{ см} \cdot \sin{\left( \frac{\pi}{3} \right)} \).

Так как \( \sin{\left( \frac{\pi}{3} \right)} = \frac{\sqrt{3}}{2} \), то:

\( \Delta r = 96 \text{ см} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 48\sqrt{3} \text{ см}} \).

Однако, в вариантах ответа нет данного значения. Проверим условие: "направление линейной скорости точки изменяется на противоположное через минимальный промежуток времени \( \Delta t_1 = 2,7 \) с". Это значит, что \( \Delta t_1 \) - это половина периода, т.е. \( T/2 = 2,7 \) с. Полный период \( T = 5,4 \) с.

\( \Delta t_2 = 1,8 \) с. Доля оборота, пройденная за \( \Delta t_2 \): \( \frac{\Delta t_2}{T} = \frac{1,8}{5,4} = \frac{1}{3} \) оборота.

Угол поворота \( \alpha = \frac{1}{3} \cdot 360^{\circ} = 120^{\circ} \).

Модуль перемещения - это длина хорды, соединяющей начальное и конечное положение точки. Длина хорды вычисляется по формуле \( \Delta r = 2R \sin(\alpha/2) \).

\( \Delta r = 2 \cdot 48 \text{ см} \cdot \sin(120^{\circ}/2) = 96 \text{ см} \cdot \sin(60^{\circ}) \).

\( \sin(60^{\circ}) = \frac{\sqrt{3}}{2} \).

\( \Delta r = 96 \text{ см} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 48\sqrt{3} \text{ см}} \).

Возможно, вопрос подразумевает, что за \( \Delta t_1 = 2,7 \) с точка проходит угол \( \pi \) радиан, а за \( \Delta t_2 = 1,8 \) с - угол \( \alpha \).

\( \alpha = \pi \cdot \frac{1,8}{2,7} = \pi \cdot \frac{18}{27} = \pi \cdot \frac{2}{3} \) радиан.

Тогда угол поворота \( \alpha = \frac{2\pi}{3} \) радиан = \( 120^{\circ} \).

Модуль перемещения \( \Delta r = 2R \sin(\alpha/2) = 2 \cdot 48 \cdot \sin(120^{\circ}/2) = 96 \cdot \sin(60^{\circ}) = 96 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 48\sqrt{3} \text{ см}} \).

Рассмотрим другой подход. Если за \( \Delta t_1 = 2,7 \) с направление скорости меняется на противоположное, то это время равно половине периода, т.е. \( T/2 = 2,7 \) с. Полный период \( T = 5,4 \) с.

За время \( \Delta t_2 = 1,8 \) с точка пройдет долю оборота \( n = \frac{\Delta t_2}{T} = \frac{1,8}{5,4} = \frac{1}{3} \).

Угол поворота \( \alpha = n \cdot 2\pi = \frac{1}{3} \cdot 2\pi = \frac{2\pi}{3} \) радиан.

Перемещение \( \Delta r \) — это длина хорды. \( \Delta r = 2R \sin(\alpha/2) = 2 \cdot 48 \cdot \sin(\frac{2\pi/3}{2}) = 96 \cdot \sin(\frac{\pi}{3}) = 96 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 48\sqrt{3} \text{ см}} \).

Проанализируем варианты ответа: 24 см, 32 см, 48 см, 72 см, 96 см. Среди них нет \( 48\sqrt{3} \text{ см}} \).

Возможно, в условии