Материальная точка движется прямолинейно по закону S(t) = \(\frac{5}{3}t^3 - \frac{3}{2}t^2 - 2t\) (где S - расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения). Найдите ее скорость (в м/с) в момент времени t = 3 с.

Решение:

Для нахождения скорости материальной точки необходимо продифференцировать закон движения \( S(t) \) по времени \( t \). Скорость \( v(t) \) является первой производной от координаты \( S(t) \).

Дано: \( S(t) = \frac{5}{3}t^3 - \frac{3}{2}t^2 - 2t \).

Найти: \( v(t) \) при \( t = 3 \) с.

Найдем производную функции \( S(t) \):

\[ v(t) = S'(t) = \frac{d}{dt}\left(\frac{5}{3}t^3 - \frac{3}{2}t^2 - 2t\right) \]

Применяем правила дифференцирования:

\[ v(t) = \frac{5}{3} \cdot 3t^{3-1} - \frac{3}{2} \cdot 2t^{2-1} - 2 \]

\[ v(t) = 5t^2 - 3t - 2 \]

Теперь подставим значение времени \( t = 3 \) с в полученное выражение для скорости:

\[ v(3) = 5(3)^2 - 3(3) - 2 \]

\[ v(3) = 5(9) - 9 - 2 \]

\[ v(3) = 45 - 9 - 2 \]

\[ v(3) = 36 - 2 \]

\[ v(3) = 34 \]

Скорость измеряется в метрах в секунду (м/с).

Ответ: 34 м/с.