Материальная точка движется по закону x(t)=1/3t^3-4t^2+t-2. В какой момент времени скорость была равна 17 м/с?

Решение:

Скорость точки — это первая производная от её координаты по времени:

\( v(t) = x'(t) = \frac{d}{dt} \left( \frac{1}{3}t^3 - 4t^2 + t - 2 \right) \)

Вычисляем производную:

\( v(t) = \frac{1}{3} \cdot 3t^2 - 4 \cdot 2t + 1 \)

\( v(t) = t^2 - 8t + 1 \)

Теперь приравниваем скорость к заданному значению 17 м/с и решаем полученное квадратное уравнение:

\( t^2 - 8t + 1 = 17 \)

\( t^2 - 8t + 1 - 17 = 0 \)

\( t^2 - 8t - 16 = 0 \)

Найдём дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-16) = 64 + 64 = 128 \]

Найдём корни уравнения:

\[ t_{1,2} = \frac{-b \cdot \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 \cdot \sqrt{128}}{2} \]

Упростим корень из 128:

\[ \sqrt{128} = \sqrt{64 \cdot 2} = 8\sqrt{2} \]

Подставим обратно:

\[ t_{1,2} = \frac{8 \cdot 8\sqrt{2}}{2} = 4 \cdot 4\sqrt{2} \]

Получаем два возможных значения времени:

\( t_1 = 4 + 4\sqrt{2} \)

\( t_2 = 4 - 4\sqrt{2} \)

Так как время не может быть отрицательным, и \( 4 - 4\sqrt{2} < 0 \), мы выбираем положительный корень.

Ответ: 4+4√2.