Математика, 8 класс Вариант 1

Часть 1. Выберите правильный ответ и запишите его номер в бланк ответов.

1. Дискриминант квадратного уравнения 3x-2+6x² = 0 равен:
   1) -39; 2) 33; 3) -68; 4) 57.
2. Упростите выражения: \( \left( \frac{1}{\sqrt{4}} + \frac{1}{\sqrt{3}} \right) \cdot 3\sqrt{2} - 0,75\sqrt{6} \)
   1) \(\sqrt{2}\); 2) 2; 3) \(\sqrt{6}\); 4) 0,2\(\sqrt{6}\).
3. Найдите произведение корней уравнения: \( 2x^2 - 14 = 0 \)
   1) -7; 2) 7; 3) 14; 4) -14.
4. Решите неравенство: \( 9 - 2x \ge 8 \)
   1) \((-\infty; 0,5]\); 2) \((-\infty; -0,5]\); 3) \([0,5; \infty)\); 4) \([-0,5; \infty)\).
5. Решите уравнение: \( 7x^2 - 5x - 2 = 0 \)
   1) 2 и \( -\frac{1}{7} \); 2) -1 и \( \frac{2}{7} \); 3) 1 и \( -\frac{2}{7} \); 4) нет корней.
6. Сократите дробь: \( \frac{5x - 15}{x^2 - 9} \)
   1) \( \frac{5}{x-3} \); 2) \( \frac{5}{3-x} \); 3) \( \frac{5}{x+3} \); 4) \( \frac{5}{x-9} \).
7. В равнобедренном треугольнике высота проведенная к основанию, равна 12см. Найдите боковую сторону если основание треугольника равна 10см.
   1) 12см; 2) 13см; 3) 10см; 4) 2\(\sqrt{11}\)см.

Часть 2. Письменно оформите решение с подробными пояснениями (для классов, обучающихся по общеобразовательной программе)

1. Решите уравнение: \( (2x - 1)^2 = -2x + 1 \) и найдите сумму корней.

Решение:

Раскроем скобки в левой части уравнения:

\[ (2x - 1)^2 = 4x^2 - 4x + 1 \]

Теперь приравняем к правой части:

\[ 4x^2 - 4x + 1 = -2x + 1 \]

Перенесем все члены в левую часть:

\[ 4x^2 - 4x + 1 + 2x - 1 = 0 \]

\[ 4x^2 - 2x = 0 \]

Вынесем общий множитель \( 2x \) за скобки:

\[ 2x(2x - 1) = 0 \]

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:

\[ 2x = 0 \quad \text{или} \quad 2x - 1 = 0 \]

Решаем каждое уравнение:

\[ x_1 = 0 \]

\[ 2x = 1 \quad \Rightarrow \quad x_2 = \frac{1}{2} \]

Найдём сумму корней:

\[ x_1 + x_2 = 0 + \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \]

Ответ: Корни уравнения: 0 и 1/2. Сумма корней равна 1/2.

2. Решите задачу: Мотоциклист проехал 40 км от пункта А до пункта В. Возвращаясь обратно со скоростью на 10 км/ч меньше первоначальной, он затратил на путь на 20 мин больше. Найдите первоначальную скорость мотоциклиста.

Решение:

Пусть \( v \) км/ч — первоначальная скорость мотоциклиста.

Время движения от А до В: \( t_1 = \frac{40}{v} \) ч.

Скорость мотоциклиста обратно: \( v - 10 \) км/ч.

Время возвращения: \( t_2 = \frac{40}{v - 10} \) ч.

По условию, время возвращения на 20 мин больше. Переведем 20 минут в часы:

\[ 20 \text{ мин} = \frac{20}{60} \text{ ч} = \frac{1}{3} \text{ ч} \]

Составим уравнение:

\[ t_2 = t_1 + \frac{1}{3} \]

\[ \frac{40}{v - 10} = \frac{40}{v} + \frac{1}{3} \]

Приведем к общему знаменателю:

\[ \frac{40 · 3v}{3v(v - 10)} = \frac{40 · 3(v - 10)}{3v(v - 10)} + \frac{v(v - 10)}{3v(v - 10)} \]

Умножим обе части на \( 3v(v - 10) \), учитывая, что \( v
e 0 \) и \( v
e 10 \):

\[ 120v = 120(v - 10) + v(v - 10) \]

\[ 120v = 120v - 1200 + v^2 - 10v \]

\[ 0 = -1200 + v^2 - 10v \]

\[ v^2 - 10v - 1200 = 0 \]

Найдем дискриминант:

\[ D = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1200) = 100 + 4800 = 4900 \]

Найдем корни уравнения:

\[ v = \frac{-(-10) \pm \sqrt{4900}}{2 \cdot 1} = \frac{10 \pm 70}{2} \]

\[ v_1 = \frac{10 + 70}{2} = \frac{80}{2} = 40 \]

\[ v_2 = \frac{10 - 70}{2} = \frac{-60}{2} = -30 \]

Так как скорость не может быть отрицательной, отвергаем \( v_2 \).

Первоначальная скорость мотоциклиста равна 40 км/ч.

Ответ: Первоначальная скорость мотоциклиста 40 км/ч.

Часть 2. Письменно оформите решение с подробными пояснениями (для классов с углубленным изучением математики)

1. Пусть \( x_1 \) и \( x_2 \) — корни уравнения \( x^2 + 2x - 11 = 0 \). Запишите квадратное уравнение, корнями которого были бы числа \( \frac{1}{x_1} \) и \( \frac{1}{x_2} \).

Решение:

По теореме Виета для уравнения \( x^2 + 2x - 11 = 0 \) имеем:

\[ x_1 + x_2 = -2 \quad \text{и} \quad x_1 x_2 = -11 \]

Пусть \( y_1 = \frac{1}{x_1} \) и \( y_2 = \frac{1}{x_2} \). Тогда новое квадратное уравнение будет иметь вид:

\[ y^2 - (y_1 + y_2)y + y_1 y_2 = 0 \]

Найдем сумму новых корней:

\[ y_1 + y_2 = \frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{x_2 + x_1}{x_1 x_2} = \frac{-2}{-11} = \frac{2}{11} \]

Найдем произведение новых корней:

\[ y_1 y_2 = \frac{1}{x_1} \cdot \frac{1}{x_2} = \frac{1}{x_1 x_2} = \frac{1}{-11} = -\frac{1}{11} \]

Подставим найденные значения в формулу квадратного уравнения:

\[ y^2 - \frac{2}{11}y - \frac{1}{11} = 0 \]

Умножим обе части на 11, чтобы избавиться от дробей:

\[ 11y^2 - 2y - 1 = 0 \]

Ответ: Квадратное уравнение: \( 11y^2 - 2y - 1 = 0 \).

2. Упростите выражение: \( \left( y + 1 + \frac{1}{y - 1} \right) : \frac{y^2}{1 - 2y + y^2} \)

Решение:

Сначала упростим выражение в первой скобке:

\[ y + 1 + \frac{1}{y - 1} = \frac{(y+1)(y-1)}{y-1} + \frac{1}{y-1} = \frac{y^2 - 1 + 1}{y-1} = \frac{y^2}{y-1} \]

Теперь упростим второе выражение (знаменатель дроби). Заметим, что \( 1 - 2y + y^2 \) — это квадрат разности \( (y-1)^2 \).

\[ \frac{y^2}{1 - 2y + y^2} = \frac{y^2}{(y - 1)^2} \]

Теперь выполним деление:

\[ \frac{y^2}{y - 1} : \frac{y^2}{(y - 1)^2} = \frac{y^2}{y - 1} \cdot \frac{(y - 1)^2}{y^2} \]

Сократим общие множители:

\[ \frac{\cancel{y^2}}{\cancel{y - 1}} \cdot \frac{(y - 1)^{\cancel{2}}}{\cancel{y^2}} = y - 1 \]

Ответ: Упрощенное выражение: \( y - 1 \).

Желаем успеха!