Математическое ожидание случайной величины Х равно 100, а дисперсия Х равна D(X). Используя неравенство Чебышева, оцените вероятность того, что Х отличается от 100 не меньше чем на 2 стандартных отклонения. Вероятность того, что Х отличается от 100 не меньше чем на 2 стандартных отклонения,?

Ответ: не больше 0,25

Разбираемся:

• Неравенство Чебышева гласит: \( P(|X - E(X)| \geq \varepsilon) \leq \frac{D(X)}{\varepsilon^2} \), где \( E(X) \) - математическое ожидание, \( D(X) \) - дисперсия, а \( \varepsilon \) - некоторое положительное число.
• В нашей задаче \( E(X) = 100 \), и нас интересует вероятность того, что \( X \) отличается от 100 не меньше чем на 2 стандартных отклонения, то есть \( \varepsilon = 2\sigma \), где \( \sigma \) - стандартное отклонение. Тогда \( \varepsilon^2 = (2\sigma)^2 = 4\sigma^2 \).
• Дисперсия \( D(X) = \sigma^2 \).
• Подставляем в неравенство Чебышева: \( P(|X - 100| \geq 2\sigma) \leq \frac{\sigma^2}{4\sigma^2} = \frac{1}{4} = 0.25 \).

Таким образом, вероятность того, что \( X \) отличается от 100 не меньше чем на 2 стандартных отклонения, не больше 0,25.

Ответ: не больше 0,25