10.2.1. (Математический праздник, 2021, 6.4, 7.3) Внутри клетчатого прямоугольника пе- риметра 50 клеток по границам клеток вырезана прямоугольная дырка периметра 32 клетки (дырка не содержит граничных клеток). Если разрезать эту фигуру по всем горизонтальным линиям сетки, получится 20 полосок шириной в 1 клетку. А сколько полосок получится, если вместо этого разрезать ее по всем вертикальным линиям сетки? (Квадратик 1 × 1 это тоже полоска!)

Решим задачу по математике.

Пусть внешний прямоугольник имеет размеры $$a \times b$$, а внутренний (дырка) $$c \times d$$, где a, b, c, d - целые числа, выражающие количество клеток.

Из условия задачи известно, что периметр внешнего прямоугольника равен 50, а периметр внутреннего - 32. Тогда можно записать следующие уравнения:

$$2(a + b) = 50$$

$$2(c + d) = 32$$

Из первого уравнения получаем:

$$a + b = 25$$

Из второго уравнения получаем:

$$c + d = 16$$

Также известно, что при разрезании фигуры по горизонтальным линиям сетки получается 20 полосок, следовательно:

$$a - c = 20$$

Теперь у нас есть система из трех уравнений:

$$a + b = 25$$

$$c + d = 16$$

$$a - c = 20$$

Выразим a из третьего уравнения:

$$a = 20 + c$$

Подставим это выражение в первое уравнение:

$$20 + c + b = 25$$

$$b = 5 - c$$

Так как b должно быть положительным целым числом, то c может принимать значения 1, 2, 3 или 4.

Выразим d из второго уравнения:

$$d = 16 - c$$

Так как d должно быть положительным целым числом, то c должно быть меньше 16.

Нам нужно найти количество полосок, которые получатся при разрезании по вертикальным линиям сетки, то есть значение $$b - d$$.

$$b - d = (5 - c) - (16 - c) = 5 - c - 16 + c = -11$$

Так как количество полосок не может быть отрицательным, то нужно взять модуль полученного значения:

$$|b - d| = |-11| = 11$$

Следовательно, при разрезании фигуры по вертикальным линиям сетки получится 11 полосок.

Ответ: 11